反之,对于(1)的任一解向量a,易知a-a是(4)的解,又知a1,a2…an 是(4)的一个基础解系,所以,存在数k,k2……kn,使 a-do=k,a,+k,a,+.+k-a 即:a=a+k1a1+k2a2+…+k-an 推论:在方程组(1)有解的前提下,解为唯一的充要条件是它的导出组 (2)只有零解 三、非齐次组通解的求法 1、一般法:1)先求(1)的一个特解a0 2)再求(2)的基础解系a,a2,…an,(r=R(A)) 3)根据解的结构定理写出(1)的通解(5) a=ao+k,a,+k,a, +.+k,-a (k1,k2……k.为任意常数) 课本上的例子均是按此法求解的 自由未知量法 )用行初等变换,将(1)的增广矩阵化为上阶梯形 2)写出图解方程组并确定自由未知量,如xn1…,x(r=R(A)) 3)将自由未知量x1,…xn依次取为任意常数k1,k2………k可将(1)的解 写为(5)的形式 X1 x+x xa+ x 例1:求方程组 R2-x 的通解 3x1-2x2-x3+x4-2x5=2 2x1-5x2+x3-2x4+2x5 解:用初等行变换把增广矩阵化为上阶梯形矩阵 21-123:2 01 00:1 P 008-45:5 51-22:1 00000:0 Xs 由此得同解方程组 x2+x3 8x3-4x4+5x5=5 取x4,x5为自由未知量,并令x4=k,x=k得反之，对于（1）的任一解向量  ，易知  −0 是（4）的解，又知 n−r 1 , 2 ,  , 是（4）的一个基础解系，所以，存在数 n k k k 1 2 , ，使 n r n r k k k  −0 = 11 + 22 ++ −  − 即： n r n r k k k  =0 + 11 + 22 ++ −  − 证毕 推论：在方程组（1）有解的前提下，解为唯一的充要条件是它的导出组 （2）只有零解。 三、 非齐次组通解的求法 1、 一般法：1）先求（1）的一个特解  0 2）再求（2）的基础解系 n−r 1 , 2 ,  , ，（ r = R(A) ） 3）根据解的结构定理写出（1）的通解（5） n r n r k k k  =0 + 11 + 22 ++ −  − （ n r k k k 1 2  − , 为任意常数） 课本上的例子均是按此法求解的。 2、 自由未知量法： 1）用行初等变换，将（1）的增广矩阵化为上阶梯形。 2）写出图解方程组并确定自由未知量，如 r n x , , x +1  （ r = R(A) ） 3）将自由未知量 r n x , , x +1  依次取为任意常数 n r k k k 1 2  − , 可将（1）的解 写为（5）的形式。 例 1：求方程组        − + − + = − − + − = + − + − = − + − + = 2 5 2 2 1 3 2 2 2 2 2 3 2 2 1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的通解 解：用初等行变换把增广矩阵化为上阶梯形矩阵               − − − − − − − − 2 5 1 2 2 1 3 2 1 1 2 2 2 1 1 2 3 2 1 2 1 1 1 1     p.163               − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 8 4 5 5 0 1 1 0 0 1 1 2 1 1 1 1     由此得同解方程组      − + = + = − + − + = 8 4 5 5 1 2 1 3 4 5 2 3 1 2 3 4 5 x x x x x x x x x x 取 4 5 x , x 为自由未知量，并令 4 1 5 2 x = k , x = k 得