定理2凹凸判定法)设函数f(x)在区间上有二阶导数 (1)在内f"(x)>0,则f(x)在内图形是四的;+/ (2)在1内"(x)<0,则f(x)在/内图形是凸的 证:Vx,x2∈,利用一阶泰勒公式可得 f(x)=/(+)+3x12)+5(x-+2 (x)=f(+)+)x一)计2(x2-+ 两式相加 f(x1)+f(x2)=2f( X1+x2 +(2)L"5)+f"(52 当(x)>0时,)(x27f(2 说明(1)成立 (2)证毕8 定理2.(凹凸判定法) (1) 在 I 内 则 在 I 内图形是凹的 ; (2) 在 I 内 则 在 I 内图形是凸的 . + − 证: 利用一阶泰勒公式可得 ( ) ( ) 1 f x = f 2 1 2 x + x 2 ! ( ) 1 f  + 2 1 (x − ) 2 1 2 x + x ( ) ( ) 2 f x = f 2 1 2 x + x + f ( ) 2 1 2 x + x ( ) x2 − 2 1 2 x + x 2 ! ( )  2 f  + 2 2 (x − ) 2 1 2 x + x 两式相加 ( ) ( ) 2 ( ) 1 2 f x + f x = f 2 1 2 x + x 2 2! 2 1 ( ) 2 1 x −x + [ ( ) ( )] 1  2 f  + f  当f (x)  0时, ( ), 2 ( ) ( ) 1 2 f f x f x  + 2 1 2 x + x 说明 (1) 成立;  (2) + f ( ) 2 1 2 x + x ( ) 1 x 2 1 2 x + x  设函数 在区间I 上有二阶导数 证毕