归一化后n2 nA. mmy E最小值为印= 对应的本征函数为v1 sIn 次小值为E12=E21 分别对应本征函数v12=-sin-sin sin- 10.13求解均匀细杆的导热问题,设杆的侧面是绝热的,初始温度为零,x=l端 保持为零度,而另一端x=0的温度为At(A为常数) 解:定解问题 at 0 A u(x, 0=v(x, 0+w(x, t) v(x,D)=C1(1)x+C2(1)代入边界条件,得 C2()=A =C1()+C2()=0 解得,C(=-S(_A 1-7,C2(n)=At,因此 v(r, i)s At(1-x) 关于w得定解问题为 现在用本征函数法求解此定解问题。相应齐次方程经分离变量后得到的 本征值问题是, ∫Xx"+x=0 xO=0,x(O)=0归一化后 a m y a n x a nm π π ψ sin sin 2 = E 最小值为 2 2 2 11 ma E π h = ,对应的本征函数为 a y a x a π π ψ sin sin 2 11 = 次小值为 2 2 2 12 21 2 5 ma E E π h = = ， 分别对应本征函数 a y a x a a y a x a π π ψ π π ψ sin 2 sin 2 , 2 sin sin 2 12 = 21 = 10.13 求解均匀细杆的导热问题，设杆的侧面是绝热的，初始温度为零，x = l 端 保持为零度，而另一端 x = 0的温度为 At （A 为常数）。 解：定解问题      = = = = = = = ; 0 0; 0 0 2 x x l t t xx u At u u u a u 令 u(x,t) = v(x,t) + w(x,t) ( , ) ( ) ( ) 1 2 v x t = C t x + C t 代入边界条件，得     = + = = = = = ( ) ( ) 0 ( ) 1 2 0 2 v C t l C t v C t At x l x 解得， t l A l C t C t = − = − ( ) ( ) 2 1 ， C (t) = At 2 ，因此 l At l x v x t ( ) ( , ) − = 关于w 得定解问题为        = = = − − = − = = = 0; 0 0 ( ) 0 0 2 x x l t t xx w w w l A l x w a w 现在用本征函数法求解此定解问题。相应齐次方程经分离变量后得到的 本征值问题是，    = = + = (0) 0, ( ) 0 ' ' 0 X X l X λX