第31讲微分中值定理(2) 99 又limf(x)=A存在,由数列极限与函数极限关系定理(参看第8讲)知 lim f(E)= lim f(r)=A, 从而得 f+(x0)=A 2-x,1<x<+∞; 例4设f(x)= 0≤x≤ 求f(x) <x<0 解在各段开区间内分别求导得:f(x)={2x, 3x2 <x<0. 考察分界点x=0与x=1处的可导性 当x=0时,由于limf(x)=lim(2x)=0,limf(x)=lim(3x2)=0,由定理知 f+(0)=f-(0)=0,所以f(0)=0 当x=1时,由于limf(x)=lim(-1)=-1;limf(x)=lim(2x)= 即f+(1)=-1存在,(1)=2存在,但不相等,所以∫(x)在x=1处不可导 1<x<+∞; 综上,得f(x)={2x 0≤x<1;在x=1处f(x)不可导 ∞<x<0 例5讨论f(x)=∫√x-1, ; 在x=1处的可导性 解f(x)在x=1处连续,在x≠1处可导:f(x)= 2√1一 又因为 lim f'(x)= lim lim f(x)= lim ∞ 所以f(x)在x=1处不可导,但有无穷导数 sIn ≠0 例6设∫(x)= 求f(x) 解易知∫(x)在x=0处连续,当x≠0时,f(x)=2xm√ 但由于 im2asin1=0, limos1不存在,所以极限limf(x)不存在 务必充分注意当limf(x)不存在(且不为∞)时,不能断定(x)一定不存在,这时 0 要根据导数定义来判断f(x)在x=x处的可导性 这里,由导数定义得 rasin f(o)=lim f(r)-f(o) lim limxsin