第十八届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答 (2007年10月14日下午2:30-5:00) 注意:本考卷共九题.甲组九题全做,乙组只做前七题 填空题(每小题2分,共20分) 设当x→>1时,1- 是x-1的等价无穷小,则m 1+x+ 2.设∫(x)= (x-1)(x-2)…(x-n) 则f(1)= 解f=%(x+n) (x+1) n(n+1) 3已知曲线y=f(x)在点(0)处的切线在y轴上的截距为-1,则lim+f(1+-) 解lim[+f(1+-)]= k=1n+ 解原式=e-1 x+ sin x -3(1+cos x 解原式=4-π 6.设函数==f(x,y)在点(0,1)的某邻域内可微,且f(x,y+1)=1+2x+3y+0(),其中 p=√x2+y2,则曲面z=f(x,y)在点1)处的切平面方程为 解切平面方程为2x+3y-2-2=0 7直线==2 绕z轴旋转的旋转曲面方程为 解旋转转曲面方程x2+y2-z2=1 8设L为封闭曲线|x|+1x+y=1的正向一周,则px2y2dx-cos(x+y)dy= 解原式=0 9设向量场A=2x3yi-x2y2zj-x2y2k,则其散度dA在点M(1,2)处沿 方向l={2,2,-1)的方向导数(divA)lM 解原式第十八届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答 （2007 年 10 月 14 日 下午 2：30­­5：00） 注意：本考卷共九题. 甲组九题全做, 乙组只做前七题 一、 填空题（每小题 2 分，共 20 分） 3 .  1  ,  ______ .  1  1 .  1  , 1  1 = - = + + + Æ - - m  x m  x x m  x m  解 设当 时 是 的等价无穷小 则 L .  ( 1 ) ( 1 ) (1 ) ,  (1 ) ________ .  ( 1 )( 2 ) ( ) ( 1 )( 2 ) ( ) 2 .  ( ) 1 + - ¢ = ¢ = + + + - - - = - n  n  f  f  x x x n  x x x n  f  x n  解 设 则 L L )] .  1  lim [1  (1  )] _____ .  1  3.  ( ) (1 , 0 ) 1 ,  lim [1  (1  e n  f  n  y f  x y f  n  n  n  n + + = = - + + = Æ• Æ• 解 已知曲线 在点 处的切线在 轴上的截距为 则 1 .  4 . lim  ______  .  1  1 = - Â = = Æ • + e e n  k n  k n  k n 解 原式 4 π. d _________.  (1 cos  ) sin 5.  2 π 2 π 2 2 = - = + + Ú - 解 原式 x  x  x x  2  3  2  0 .  则曲面 ( ,  ) 在点(0,1)处的切平面 为 __________ ___.  6. 设函数 ( ,  ) 在点 (0 , 1 )的某邻 微 , 且 ( ,  1 ) 1  2  3  ( ), 其中 2 2  + - - = = + = = + = + + + x y z  x y z  f  x y z  f  x y f  x y x y o  解 切平面方程为 ， 方程 域内可 r r 旋转转曲面方程 1.  绕 轴旋转的旋转曲面方程 为 _____________.  1 1 1 1 0 1 7.  线 2 2 2 + - = - = - = - x  y  z z x  y  z 解 直 0.  8.  |  |  |  |  1 d cos(  ) d ____ .  2 2 = + + = - + = Ú 解 原式 设 为封闭曲线 的正向一周，则 L  L x  x  y  x  y  x  x  y  y  .  3 22 {2, 2,  1} (div ) | ______ .  9.  2 ,  div (1, 1, 2) 3 2  2  2  2  = = ¶ ¶ = - = - - 解 原式 方向 的方向导数 设向量场 则其散度 在点 处沿 M x y z  x  y  z  x  y z  M  A l  l  A i  j  k A