第十一章微分方程 数学实验 一、常微分方程符号解的求解 用Matlab函数dsolve求常微分方程 F(xyy,yy.y)=0 的通解的主要调用格式如下： S=dsolve('ean','var') 其中输入的量eqn是改用符号方程表示的常微分方程F(x,y,Dy,d2y,Dny)=0,导数用 D表示，2阶导数用D2表示，以此类推.v阳r表示自变量，默认的自变量为t.输出量S是常 微分方程的解析通解. 如果给定常微分方程(7.1)的初始条件)=4,y()=a,.,y(x)=a,则求方程 (7.1)的特解的主要调用格式如下： S=dsolve('egn','condition1 ',.'conditonn ','var') 常微背籍价得的合文如上 conditionl,.conditonn是初始条件.输出量S是 例1求下列常微分方程的通解 解求通解相应的Matlab程序为 >xl=dsolve('Dx=-a*x'), >y2=dsolve('D2y+a*dy=b*(sin(x)+cos(x))','x'), >》y3=dsolveDy=y^2*(1-y)'), y4-dsolve(D2y=sin()) 运行后可得常微分方程(1)入(2、(3)、(4)的通解x1、y2、y3、y4依次如下 x1 =Cl*exp(-a*t) y2 =b*(-sin(x)-cos (x))-1/2*a*dy*x"2+C1*x+C2 y3=1/(1 ambertw(-1/C1*exp(-t-1)+1) y4=nt/-2*cos(a)C)/2-a=.)-t-C2=0 nt(-1/( c1(1/9 -t-C2=0 其中C1和C2是任意常数.因为常微分方程(3)和(4)的显式解没有被找到，所以返回隐 式解. 例2求下列常微分方程在给定初始条件下的特解。 f-y,o,=lgy倒 =0. dx 解求特解相应的Matlab代码为 >f=dsolve ('D2f=-a"2*Df','f(0)=1,Df(pi/a)=0') 运行后得常微分方程在给定初始条件下的特解「如下 例3已知需求与供给函数为1 第十一章 微分方程 数学实验 一、常微分方程符号解的求解 用 Matlab 函数 dsolve 求常微分方程 ( ) ( , , , , , , ) 0 n F x y y y y y    = 的通解的主要调用格式如下： S=dsolve('eqn', 'var') 其中输入的量 eqn 是改用符号方程表示的常微分方程 F(x,y,Dy,d2y,.Dny)=0，导数用 D 表示，2 阶导数用 D2 表示，以此类推.var 表示自变量，默认的自变量为 t.输出量 S 是常 微分方程的解析通解. 如果给定常微分方程（7.1）的初始条件 ( ) 0 0 0 1 0 ( ) , ( ) , , ( ) n n y x a y x a y x a = = =  ，则求方程 （7.1）的特解的主要调用格式如下： S=dsolve('eqn', 'condition1 ',.'conditonn ','var') 其中输入量 eqn，var 的含义如上， condition1,.conditonn 是初始条件.输出量 S 是 常微分方程的特解. 例 1 求下列常微分方程的通解 d (1) d x at t = − ； 2 2 d d (2) (sin cos ) d d y y a b x x x x + = + ； d 2 (3) (1 ) d y y y x = − ； （4） 2 2 d sin d y y x = . 解 求通解相应的 Matlab 程序为 >> x1=dsolve('Dx=-a*x')， >> y2=dsolve('D2y+a*dy=b*(sin(x)+cos(x))','x')， >> y3=dsolve('Dy=y^2*(1-y)')， >> y4=dsolve('D2y=sin(y)')， 运行后可得常微分方程（1）、（2）、（3）、（4）的通解 x1、y2、y3、y4 依次如下 x1 =C1*exp(-a*t) y2 =b*(-sin(x)-cos(x))-1/2*a*dy*x^2+C1*x+C2 y3 =1/(lambertw(-1/C1*exp(-t-1))+1) y4 =Int(1/(-2*cos(_a)+C1)^(1/2),_a = . y)-t-C2 = 0 Int(-1/(-2*cos(_a)+C1)^(1/2),_a = . y)-t-C2 = 0 其中 C1 和 C2 是任意常数.因为常微分方程（3）和（4）的显式解没有被找到，所以返回隐 式解. 例 2 求下列常微分方程在给定初始条件下的特解. 2 2 2 d ( ) d ( ) d ( ) , (0) 1, 0 d d d x a f x f x f x a f x x x  = = − = = . 解 求特解相应的 Matlab 代码为 >> f=dsolve('D2f=-a^2*Df','f(0)=1,Df(pi/a)=0') 运行后得常微分方程在给定初始条件下的特解 f 如下 f =1 例 3 已知需求与供给函数为