郑文吴等：具有状态约束与输入饱和的全向移动机器人自适应跟踪控制 ·1179 式中，d°=(d,d,d)T是机器人受到的未知有 2,3),其中6,6，是正常数：且参考模型的状态约束 界扰动，：=（红1,72,73）”是机器人输人力矩向量. 界应小于跟踪机器人的状态约束界，即满足δ：< 令q1=(x,y,0)T和q2=(u,巴，ω)，则全向移 B1:,82<B2:(i=1,2,3)条件. 动机器人模型(1)和(5)可写成： 假设2：全向移动机器人模型(6)存在物理参数 (91=J(8)q2 未知情况，参数a1,a2,a3,b1,b2未知但有界. (6) (92=Aq2+a2S(q2)+Br+d 假设3：在实际系统中，机器人的运动速度)， 模型中各参数表示如下所示： 巴，ω存在未知上界满足条件：18.I<P1,IU,I<P2, Iωl<P,其中p1P2P3是未知有界正常数.系统受 A=diag{-a1,-a1,-a3}, 到的未知有界扰动满足‖d°‖<d,其中d是未知 a1=3c/(31.+2mm2), 正常数 a2=2mr2/(31.+2mr2), 值得注意的是，在假设3中对运动速度的未知 a3=3cl/(31.L2+12), 有界假设，是表示机器人的运动速度不可能无限大， b1=r/(3L.+2mr2), 必然存在某个未知上界，而状态受限约束(8)中是 b2=hrL/(31L2+Ig2), 由于运动空间约束及安全性等原因而人为规定的约 cos 0 -sin 00 束界.实际上，运动速度的未知上界P:必然大于状 J(8)= sin 0 cos 00 态约束界B2 0 0 本文的控制目标是：在假设1~3下，考虑存在 (-b -b1 2b, OV, 参数不确定和未知有界扰动情况，通过设计控制器 B=5b-5b, 0 ,S(q2)= 使得机器人系统(6)能够实现对参考轨迹的跟踪， b2 b2 0 并满足输入饱和(7)和状态约束(8)，且所有闭环系 统的信号均能保证有界 式中，a1,a2,a3,b1,b2是正常数；需要注意的是，由 于机器人系统的物理参数如转动惯量、黏滞摩擦系 2控制器设计 数等测量具有误差，因此系统具有模型不确定性 为了设计满足状态约束和输入饱和的自适应跟 1.3控制目标 踪控制器，先提出以下引理 在实际机器人系统中存在输入饱和现象，即机 引理1：对于任意正常数ε>0和x∈R,不等式 器人的输入力矩必须在有界范围内，可由如下公式 0≤lxl-xtanh(ex)≤l/e恒成立，其中l是常数，且 表示： 满足等式l=e-(1+),l≈0.2785. T0>Timax 引理2]：对于任意正常数k∈R+,当Ix|<k T:=Ta -Tmin≤T0≤Tmxi=1,2,3(7) 、-Timin Ti0<-Timin 时不等式山终收立 式中，Tms,一Tn分别表示饱和约束的上界和下界， 引理3[]：如果一个连续正定的Lyapunov函数 To(i=1,2,3)是需要设计的控制输入，记T:=sat V(x)满足K(Ix‖)≤V(x)≤K2(IxⅡ)，其中K1, (T0). K2是K类函数，且V(x)满足V(x)≤-aV(x)+b, 此外，在实际机器人运动过程中，由于空间限制 其中a,b是正常数，则对于任意有界初始状态 或安全性考虑，机器人的运动范围和运动速度往往 x(t),解x(t)必将一致有界 需要受到约束，即机器人存在状态受限情况，需要 考虑全向移动机器人系统模型(5)，其给定参 满足： 考轨迹为q.=(x水，0)I,定义变量如下所示： I911<Bi,192:I<B2i(i=1,2,3) (8) 31=91-91.=(1,12,21g)T 式中，B:,B2是正常数，表示状态的约束界限 (9) z2=92-=(,n,3)r 为方便跟踪控制器设计，以下提出三条合理的 其中a=(a1,4,a)「是虚拟变量，其数学表达式 假设 随后给出. 假设1：对于给定的参考轨迹q.=(x,y.,0.)T 利用反步法，首先取障碍Lyapunov函数如下： 及其相应参考速度q.=(u,心.，ω，)T,需要满足相 3 应的状态约束关系，即1q1m|<6:,|q2m|<δ2：(i=1, (10)郑文昊等: 具有状态约束与输入饱和的全向移动机器人自适应跟踪控制 式中,d * = (d * 1 ,d * 2 ,d * 3 ) T 是机器人受到的未知有 界扰动,子 = (子1 ,子2 ,子3 ) T 是机器人输入力矩向量. 令 q1 = (x,y,兹) T 和 q2 = (vx,vy,棕) T ,则全向移 动机器人模型(1)和(5)可写成: q · 1 = J(兹)q2 q · 2 = Aq2 + a2S(q2 ) + B子 + d { * (6) 模型中各参数表示如下所示: A = diag{ - a1 , - a1 , - a3 }, a1 = 3c/ (3Iw + 2mr 2 ), a2 = 2mr 2 / (3Iw + 2mr 2 ), a3 = 3cL 2 / (3Iw L 2 + IR r 2 ), b1 = nr/ (3Iw + 2mr 2 ), b2 = krL / (3Iw L 2 + IR r 2 ), J(兹) = cos 兹 - sin 兹 0 sin 兹 cos 兹 0 æ è ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ 0 0 1 , B = - b1 - b1 2b2 3b1 - 3b1 0 b2 b2 b æ è ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ 2 ,S(q2 ) = 棕vy - 棕vx æ è ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ 0 式中,a1 ,a2 ,a3 ,b1 ,b2 是正常数;需要注意的是,由 于机器人系统的物理参数如转动惯量、黏滞摩擦系 数等测量具有误差,因此系统具有模型不确定性. 1郾 3 控制目标 在实际机器人系统中存在输入饱和现象,即机 器人的输入力矩必须在有界范围内,可由如下公式 表示: 子i = 子imax 子i0 > 子imax 子i0 - 子imin臆子i0臆子imax - 子imin 子i0 < - 子i ì î í ï ï ï ï min i = 1,2,3 (7) 式中,子imax, - 子imin分别表示饱和约束的上界和下界, 子i0 (i = 1,2,3) 是需要设计的控制输入,记 子i = sat (子i0 ). 此外,在实际机器人运动过程中,由于空间限制 或安全性考虑,机器人的运动范围和运动速度往往 需要受到约束,即机器人存在状态受限情况,需要 满足: | q1i | < 茁1i, | q2i | < 茁2i (i = 1,2,3) (8) 式中,茁1i,茁2i是正常数,表示状态的约束界限. 为方便跟踪控制器设计,以下提出三条合理的 假设. 假设 1:对于给定的参考轨迹 q1r = (xr,yr,兹r) T 及其相应参考速度 q2r = (vxr,vyr,棕r) T ,需要满足相 应的状态约束关系,即 | q1ri | < 啄1i, | q2ri | < 啄2i ( i = 1, 2,3),其中 啄1i,啄2i是正常数;且参考模型的状态约束 界应小于跟踪机器人的状态约束界,即满足 啄1i < 茁1i,啄2i < 茁2i(i = 1,2,3)条件. 假设 2:全向移动机器人模型(6)存在物理参数 未知情况,参数 a1 ,a2 ,a3 ,b1 ,b2 未知但有界. 假设 3:在实际系统中,机器人的运动速度 vx, vy,棕 存在未知上界满足条件: | vx | < p1 , | vy | < p2 , | 棕| < p3 ,其中 p1 ,p2 ,p3 是未知有界正常数. 系统受 到的未知有界扰动满足椰d * 椰 < d,其中 d 是未知 正常数. 值得注意的是,在假设 3 中对运动速度的未知 有界假设,是表示机器人的运动速度不可能无限大, 必然存在某个未知上界,而状态受限约束(8) 中是 由于运动空间约束及安全性等原因而人为规定的约 束界. 实际上,运动速度的未知上界 pi 必然大于状 态约束界 茁2i . 本文的控制目标是:在假设 1 ~ 3 下,考虑存在 参数不确定和未知有界扰动情况,通过设计控制器 使得机器人系统(6)能够实现对参考轨迹的跟踪, 并满足输入饱和(7)和状态约束(8),且所有闭环系 统的信号均能保证有界. 2 控制器设计 为了设计满足状态约束和输入饱和的自适应跟 踪控制器,先提出以下引理. 引理 1:对于任意正常数 着 > 0 和 x沂R,不等式 0臆| x | - xtanh (着x)臆l / 着 恒成立,其中 l 是常数,且 满足等式 l = e - (l + 1) ,l抑0郾 2785. 引理 2 [17] :对于任意正常数 k沂R + ,当 | x | < k 时,不等式 ln k 2 k 2 - x 2臆 x 2 k 2 - x 2始终成立. 引理 3 [25] :如果一个连续正定的 Lyapunov 函数 V(x)满足 资1 (椰x椰)臆V(x)臆资2 (椰x椰),其中 资1 , 资2 是 资 类函数,且 V( x)满足 V · ( x)臆 - aV( x) + b, 其中 a, b 是正常数, 则对于任意有界初始 状 态 x(t 0 ),解 x(t)必将一致有界. 考虑全向移动机器人系统模型(5),其给定参 考轨迹为 q1r = (xr,yr,兹r) T ,定义变量如下所示: z1 = q1 - q1r = (z11 ,z12 ,z13 ) T z2 = q2 - 琢 = (z21 ,z22 ,z23 ) { T (9) 其中 琢 = (琢1 ,琢2 ,琢3 ) T 是虚拟变量,其数学表达式 随后给出. 利用反步法,首先取障碍 Lyapunov 函数如下: V1 = 1 2 移 3 i = 1 ln k 2 ai k 2 ai - z 2 1i (10) ·1179·