工程科学学报，第41卷，第9期：1176-1186,2019年9月 Chinese Journal of Engineering,Vol.41,No.9:1176-1186,September 2019 DOI:10.13374/j.issn2095-9389.2019.09.009;http://journals.ustb.edu.cn 具有状态约束与输入饱和的全向移动机器人自适应跟 踪控制 郑文昊，贾英民四 北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院，北京100191 区通信作者，E-mail:ymjiat@buaa.cdu.cm 摘要研究了全状态约束与输入饱和情况下的全向移动机器人轨迹跟踪控制问题.首先，针对一类三轮驱动的全向移动机 器人，考虑系统存在模型参数不确定与外部扰动，建立了运动学与动力学模型：其次，利用障碍Lyapunov函数，结合反步设计 方法，有效处理全向移动机器人跟踪过程中存在的状态约束，保证所有状态变量不会超出状态约束的限制区域：然后，针对系 统参数不确定和未知有界扰动，设计相应的自适应律进行处理：同时，提出一种抗饱和补偿器保证机器人输入力矩满足饱和 约束；并且利用Lyapunov理论分析证明了当选取合适的控制参数时闭环系统中的所有信号均能保证一致有界：最后，通过与 未考虑状态约束和输入饱和的控制器以及经典比例-微分控制器进行仿真对比，验证了该方法的有效性和鲁棒性 关键词全向移动机器人；跟踪控制；自适应控制：状态约束；输入饱和 分类号TP242.6 Adaptive tracking control for omnidirectional mobile robots with full-state constraints and input saturation ZHENG Wen-hao,JIA Ying-min School of Automation Science and Electrical Engineering,Beihang University,Beijing 100191,China Corresponding author,E-mail:ymjia@buaa.edu.cn ABSTRACT The omnidirectional mobile robot (OMR),which is different from the two-wheeled differential drive mobile robots,can achieve three-degree-of-freedom motion in a plane with no non-holonomic constraint.Therefore,this type of robot has been widely used in many fields owing to its superior maneuverability and controllability.In practical applications,the trajectory tracking problem of the OMRs is a key issue that requires an urgent solution.The challenges with respect to the tracking performance can be categorized into the following:first,the parameter uncertainty of the OMR model and external disturbances affect the accuracy of the control.Second, on account of the limited workspace and the security requirements,the positions,attitudes,and speeds of the OMRs are subject to state constraints during the tracking process.Finally,the limited capability of the actuators can lead to input saturation,which will further degrade the tracking performance or even result in failure to track the desired trajectory.Thus,this study investigates the trajectory- tracking control problem of the OMRs with full-state constraints and input saturation.The kinematics and dynamics for a class of three- wheeled omnidirectional mobile robots were presented with the model uncertainties and external disturbance.Moreover,the barrier Lya- punov method was applied to handle the state constraints using the backstepping technique so that none of the state variables violated the restrictions.Meanwhile,adaptive control laws were designed to deal with the parameter uncertainties and unknown bounded dis- turbance.Moreover,an anti-windup compensator was adopted to ensure the input torque of the robot met the input constraints.The 收稿日期：2019-01-11 基金项目：国家自然科学基金资助项目(61327807,61521091,61520106010,61134005)：国家重点基础研究发展规划资助项目 (2012CB821200,2012CB821201)
工程科学学报,第 41 卷,第 9 期:1176鄄鄄1186,2019 年 9 月 Chinese Journal of Engineering, Vol. 41, No. 9: 1176鄄鄄1186, September 2019 DOI: 10. 13374 / j. issn2095鄄鄄9389. 2019. 09. 009; http: / / journals. ustb. edu. cn 具有状态约束与输入饱和的全向移动机器人自适应跟 踪控制 郑文昊, 贾英民苣 北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院, 北京 100191 苣通信作者, E鄄mail: ymjia@ buaa. edu. cn 摘 要 研究了全状态约束与输入饱和情况下的全向移动机器人轨迹跟踪控制问题. 首先,针对一类三轮驱动的全向移动机 器人,考虑系统存在模型参数不确定与外部扰动,建立了运动学与动力学模型;其次,利用障碍 Lyapunov 函数,结合反步设计 方法,有效处理全向移动机器人跟踪过程中存在的状态约束,保证所有状态变量不会超出状态约束的限制区域;然后,针对系 统参数不确定和未知有界扰动,设计相应的自适应律进行处理;同时,提出一种抗饱和补偿器保证机器人输入力矩满足饱和 约束;并且利用 Lyapunov 理论分析证明了当选取合适的控制参数时闭环系统中的所有信号均能保证一致有界;最后,通过与 未考虑状态约束和输入饱和的控制器以及经典比例鄄鄄微分控制器进行仿真对比,验证了该方法的有效性和鲁棒性. 关键词 全向移动机器人; 跟踪控制; 自适应控制; 状态约束; 输入饱和 分类号 TP242郾 6 收稿日期: 2019鄄鄄01鄄鄄11 基金项目: 国 家 自 然 科 学 基 金 资 助 项 目 ( 61327807, 61521091, 61520106010, 61134005 ); 国 家 重 点 基 础 研 究 发 展 规 划 资 助 项 目 (2012CB821200, 2012CB821201) Adaptive tracking control for omnidirectional mobile robots with full鄄state constraints and input saturation ZHENG Wen鄄hao, JIA Ying鄄min 苣 School of Automation Science and Electrical Engineering, Beihang University, Beijing 100191, China 苣Corresponding author, E鄄mail: ymjia@ buaa. edu. cn ABSTRACT The omnidirectional mobile robot (OMR), which is different from the two鄄wheeled differential drive mobile robots, can achieve three鄄degree鄄of鄄freedom motion in a plane with no non鄄holonomic constraint. Therefore, this type of robot has been widely used in many fields owing to its superior maneuverability and controllability. In practical applications, the trajectory tracking problem of the OMRs is a key issue that requires an urgent solution. The challenges with respect to the tracking performance can be categorized into the following: first, the parameter uncertainty of the OMR model and external disturbances affect the accuracy of the control. Second, on account of the limited workspace and the security requirements, the positions, attitudes, and speeds of the OMRs are subject to state constraints during the tracking process. Finally, the limited capability of the actuators can lead to input saturation, which will further degrade the tracking performance or even result in failure to track the desired trajectory. Thus, this study investigates the trajectory鄄 tracking control problem of the OMRs with full鄄state constraints and input saturation. The kinematics and dynamics for a class of three鄄 wheeled omnidirectional mobile robots were presented with the model uncertainties and external disturbance. Moreover, the barrier Lya鄄 punov method was applied to handle the state constraints using the backstepping technique so that none of the state variables violated the restrictions. Meanwhile, adaptive control laws were designed to deal with the parameter uncertainties and unknown bounded dis鄄 turbance. Moreover, an anti鄄windup compensator was adopted to ensure the input torque of the robot met the input constraints. The
郑文吴等：具有状态约束与输入饱和的全向移动机器人自适应跟踪控制 ·1177· Lyapunov theory was used to prove that all the signals in the closed-loop system were uniformly bounded when the control parameters were selected suitably.Finally,using numerical simulations,the proposed robust adaptive controller was compared with other control- lers,and the results verify the effectiveness and robustness of the proposed method. KEY WORDS omnidirectional mobile robot;tracking control;adaptive control;state constraints;input saturation 全向移动机器人是不同于传统两轮差分机器人 期望的跟踪性能，甚至导致机器人碰撞损毁或人员 的一类特殊机器人，其在平面能够实现三自由度无 受伤，因此在实际应用中，必须研究具有状态约束和 约束运动，不存在非完整约束，因而具有更强的机动 输人饱和的全向移动机器人轨迹跟踪控制方法 性和更好的可控性.近年来，随着移动机器人技术 目前针对状态受限系统，障碍Lyapunov函数是 的飞速发展，全向移动机器人获得了广泛关注，已经 一种有效处理状态约束与输出约束的工具4)]：针对 被应用于工业生产、物流运输、军事侦察、环境探测 一类具有全状态约束的单输入单输出非线性系统， 等各个方面.针对全向移动机器人的运动学与动 Liu等[s]提出了基于反步法与障碍Lyapunov函数 力学建模问题，已进行了广泛研究2-)；文献[5]考 法的自适应控制方法：进一步，在文献[16]中，Lu 虑了一类四轮全向移动机器人运动学与动力学模 等将结果扩展到一类非线性纯反馈系统；Bai[)]针 型，提出了轨迹生成方法和控制器设计思路：Lu 对一类直流电机驱动系统，基于神经网络技术，提出 等[6)建立了三轮驱动的机器人动力学模型，并基于 了满足全状态约束的自适应控制器：文献[18]基于 轨迹线性化方法设计了控制器：Indiveri]研究了运 径向基神经网络设计了自适应控制器，实现了多输 动学模型及其控制方法：此外，一种基于动力学模型 入多输出非线性系统的时变状态约束；Dig等[u)通 的P-模糊控制器在文献「8]中被提出：然而上述文 过神经网络逼近未知的轮式机器人模型，提出了一 献并未考虑在实际系统中广泛存在的参数不确定和 种全状态受限的自适应神经网络控制器，能够实现 外部干扰问题，这会使得控制器在实际应用中无法 两轮差分移动机器人对参考轨迹的有效跟踪；Wang 实现期望的控制性能. 与Wu20]基于反步法提出了一种有限时间跟踪控制 全向移动机器人的轨迹跟踪是机器人在实际应 器，保证了一类严格反馈非线性系统的全状态约束， 用中需要解决的基本问题，目前多种控制策略如自 并且实现了闭环系统中所有信号的有限时间一致有 适应技术、滑模控制、智能控制、模型预测控制以及 界.在真实系统中，电机等执行器的物理性能有限， 多种方法的综合形式已经被广泛研究.例如，Huang 机器人的输入力矩受限，需要在设计控制器考虑输 与Tsai9]提出了一种具有参数变化和摩擦滑移不确 入饱和.Chen等[2]面向非完整约束机器人运动学 定性的全向轮式移动机器人轨迹跟踪与稳定的自适 特性，提出了速度菱形输入饱和限制，通过向量分解 应反步控制方法：王明明等o基于运动学模型提出 和时变反馈参数设计，实现了输入饱和情况下的机 了全向移动机器人的自适应滑模跟踪控制方法，具 器人轨迹跟踪，相比传统矩形输入限制，提高了跟踪 有较好的跟踪性能；Alakshendra与Chiddarwar利 速度和性能：文献[22]提出了基于模型预测的输入 用二阶滑模与自适应技术的结合，提出了一种新的 约束跟踪控制器：Chen等[)]通过设计辅助系统分 自适应鲁棒二阶滑模控制方法，首次将高阶滑模控 析输入约束影响，基于命令滤波器提出了针对多输 制方法应用到轮式移动机器人的轨迹跟踪控制中， 入多输出系统的抗饱和自适应控制方法；Wen等2] 并能有效处理摩擦、外力扰动和参数不确定：X如 通过引入Nussbaum函数补偿输入饱和产生的非线 等[]采用神经网络逼近机器人的未知参数模型，提 性项，提出了两种鲁棒自适应控制算法.综上所述， 出了一种自适应神经网络滑模控制器：康升征与吴 到目前为止，尚未有全向移动机器人在状态约束和 洪涛[]提出了一种基于全向移动机器人动力学模 输入饱和下轨迹跟踪控制的相关研究报道.本文综 型的自适应模糊滑模控制器，通过设计模糊自适应 合考虑了在实际应用中全向移动机器人存在的状态 律调整增益参数，有效缓解了控制输入抖振现象. 约束与输入饱和问题，一方面，针对全向移动机器人 但是，状态约束和输入饱和问题在上述文献中均未 在轨迹跟踪过程中的安全性和运动空间要求，通过 得到研究.在实际系统中，由于机器人运动空间限 将状态约束条件引入到控制器设计过程中，保证了 制、安全速度限制、电机执行器输入受限等问题，机 机器人的位置、姿态、速度等运动状态始终位于规定 器人的状态约束与输入饱和是广泛存在的现象，忽 约束边界内，进而使得机器人能够高效安全作业：另 略此类限制约束，会导致所设计的控制器无法完成 一方面，通过设计抗饱和补偿器在满足状态约束情
郑文昊等: 具有状态约束与输入饱和的全向移动机器人自适应跟踪控制 Lyapunov theory was used to prove that all the signals in the closed鄄loop system were uniformly bounded when the control parameters were selected suitably. Finally, using numerical simulations, the proposed robust adaptive controller was compared with other control鄄 lers, and the results verify the effectiveness and robustness of the proposed method. KEY WORDS omnidirectional mobile robot; tracking control; adaptive control; state constraints; input saturation 全向移动机器人是不同于传统两轮差分机器人 的一类特殊机器人,其在平面能够实现三自由度无 约束运动,不存在非完整约束,因而具有更强的机动 性和更好的可控性. 近年来,随着移动机器人技术 的飞速发展,全向移动机器人获得了广泛关注,已经 被应用于工业生产、物流运输、军事侦察、环境探测 等各个方面[1] . 针对全向移动机器人的运动学与动 力学建模问题,已进行了广泛研究[2鄄鄄8] ;文献[5]考 虑了一类四轮全向移动机器人运动学与动力学模 型,提出了轨迹生成方法和控制器设计思路;Liu 等[6]建立了三轮驱动的机器人动力学模型,并基于 轨迹线性化方法设计了控制器;Indiveri [7] 研究了运 动学模型及其控制方法;此外,一种基于动力学模型 的 PI鄄鄄模糊控制器在文献[8]中被提出;然而上述文 献并未考虑在实际系统中广泛存在的参数不确定和 外部干扰问题,这会使得控制器在实际应用中无法 实现期望的控制性能. 全向移动机器人的轨迹跟踪是机器人在实际应 用中需要解决的基本问题,目前多种控制策略如自 适应技术、滑模控制、智能控制、模型预测控制以及 多种方法的综合形式已经被广泛研究. 例如,Huang 与 Tsai [9]提出了一种具有参数变化和摩擦滑移不确 定性的全向轮式移动机器人轨迹跟踪与稳定的自适 应反步控制方法;王明明等[10]基于运动学模型提出 了全向移动机器人的自适应滑模跟踪控制方法,具 有较好的跟踪性能;Alakshendra 与 Chiddarwar [11] 利 用二阶滑模与自适应技术的结合,提出了一种新的 自适应鲁棒二阶滑模控制方法,首次将高阶滑模控 制方法应用到轮式移动机器人的轨迹跟踪控制中, 并能有效处理摩擦、外力扰动和参数不确定;Xu 等[12]采用神经网络逼近机器人的未知参数模型,提 出了一种自适应神经网络滑模控制器;康升征与吴 洪涛[13]提出了一种基于全向移动机器人动力学模 型的自适应模糊滑模控制器,通过设计模糊自适应 律调整增益参数,有效缓解了控制输入抖振现象. 但是,状态约束和输入饱和问题在上述文献中均未 得到研究. 在实际系统中,由于机器人运动空间限 制、安全速度限制、电机执行器输入受限等问题,机 器人的状态约束与输入饱和是广泛存在的现象,忽 略此类限制约束,会导致所设计的控制器无法完成 期望的跟踪性能,甚至导致机器人碰撞损毁或人员 受伤,因此在实际应用中,必须研究具有状态约束和 输入饱和的全向移动机器人轨迹跟踪控制方法. 目前针对状态受限系统,障碍 Lyapunov 函数是 一种有效处理状态约束与输出约束的工具[14] ;针对 一类具有全状态约束的单输入单输出非线性系统, Liu 等[15]提出了基于反步法与障碍 Lyapunov 函数 法的自适应控制方法;进一步,在文献[16] 中,Liu 等将结果扩展到一类非线性纯反馈系统;Bai [17] 针 对一类直流电机驱动系统,基于神经网络技术,提出 了满足全状态约束的自适应控制器;文献[18]基于 径向基神经网络设计了自适应控制器,实现了多输 入多输出非线性系统的时变状态约束;Ding 等[19]通 过神经网络逼近未知的轮式机器人模型,提出了一 种全状态受限的自适应神经网络控制器,能够实现 两轮差分移动机器人对参考轨迹的有效跟踪;Wang 与 Wu [20]基于反步法提出了一种有限时间跟踪控制 器,保证了一类严格反馈非线性系统的全状态约束, 并且实现了闭环系统中所有信号的有限时间一致有 界. 在真实系统中,电机等执行器的物理性能有限, 机器人的输入力矩受限,需要在设计控制器考虑输 入饱和. Chen 等[21] 面向非完整约束机器人运动学 特性,提出了速度菱形输入饱和限制,通过向量分解 和时变反馈参数设计,实现了输入饱和情况下的机 器人轨迹跟踪,相比传统矩形输入限制,提高了跟踪 速度和性能;文献[22]提出了基于模型预测的输入 约束跟踪控制器;Chen 等[23] 通过设计辅助系统分 析输入约束影响,基于命令滤波器提出了针对多输 入多输出系统的抗饱和自适应控制方法;Wen 等[24] 通过引入 Nussbaum 函数补偿输入饱和产生的非线 性项,提出了两种鲁棒自适应控制算法. 综上所述, 到目前为止,尚未有全向移动机器人在状态约束和 输入饱和下轨迹跟踪控制的相关研究报道. 本文综 合考虑了在实际应用中全向移动机器人存在的状态 约束与输入饱和问题,一方面,针对全向移动机器人 在轨迹跟踪过程中的安全性和运动空间要求,通过 将状态约束条件引入到控制器设计过程中,保证了 机器人的位置、姿态、速度等运动状态始终位于规定 约束边界内,进而使得机器人能够高效安全作业;另 一方面,通过设计抗饱和补偿器在满足状态约束情 ·1177·
·1178 工程科学学报，第41卷，第9期 况下进一步保证了执行器力矩始终满足输入饱和限 证明了所提出的自适应抗饱和跟踪控制器能够保证 制，避免了因执行器饱和导致的轨迹跟踪性能退化 闭环系统中所有信号有界，最后，通过仿真计算与其 甚至于无法跟踪期望轨迹.同时，本文为全向移动 他控制器比较，验证了所提出算法的鲁棒性和可 机器人高性能轨迹跟踪的实际应用提供了理论 靠性 基础. 1全向移动机器人模型 根据以上文献介绍，本文在基于文献[17-19] 基础上，推导了三轮全向移动机器人的运动学与动 如图1(a)所示，本文主要针对一类三轮驱动的 力学模型，并考虑其存在参数不确定和外部扰动情 全向移动机器人进行研究.不同于传统两轮差分机 况，利用障碍Lyapunov函数与反步法，保证在跟踪 器人存在非完整约束的情况，此类移动机器人通过 期望轨迹过程中，机器人运动状态始终不会违反系 三组全向轮，可以实现平面三自由度的无约束运动， 统状态约束，同时，设计了饱和补偿器，通过辅助系 能够进行横向、纵向及旋转运动，具有更好的机动性 统补偿输人饱和产生的影响，并利用Lyapunov理论 与可控性 (a) 0 图1三轮全向移动机器人与受力分析.(a)机器人示意图：(b)受力分析 Fig.I Three-wheeled omnidirectional mobile robot and force analysis:(a)schematic of the robot;(b)force analysis 1.1运动学模型 电机的输人力矩ī，(i=1,2,3)与驱动力之间的关系 全向移动机器人的运动学模型如下式所示： 可由直流电机方程导出，如式(3)所示： cos 0 sin 0 L.ù：+cw:=nT:-f (3) sin A cos (1) 式中，L.是轮子的转动惯量，c是粘滞摩擦系数，n表 0 0 示电机减速器的减速倍数.假设所有驱动电机和全 向轮具有相同的物理特性 式中，元，少，0是x,y,9的微分，且x,y,0分别表示图 类似文献[2]的推导过程，机器人的受力分析 1(b)所示的世界坐标系XyOwY下机器人质心Os 如下式所示： 的横纵坐标以及与机器人坐标系X.O.Y.所成的夹 角，心，，ω表示机器人的纵向速度、横向速度和旋 m(,-,)=-2f-2+5 转角速度.进一步，机器人本体运动速度与三轮转 (4) 速的变换关系可由下式给出. 1 2 2 Ig=L(f+) 1 5 式中，m和1。分别表示机器人本体的质量和转动惯量 2 0 (2) 综合式(1)~(4)，可得动力学模型如下所示： 1 avs a2w", L L -a,@v 式中，ω，(i=1,2,3)表示轮子i的转动角速度，r是 0 轮子半径，L是机器人质心到轮子中心的垂线距离. -b1 2b1 1.2动力学模型 对全向移动机器人受力分析如图1(b)所示，f 3b. -5b, 0 T+d (5) (i=1,2,3)表示第i个驱动轮产生的驱动力，驱动 b2 b
工程科学学报,第 41 卷,第 9 期 况下进一步保证了执行器力矩始终满足输入饱和限 制,避免了因执行器饱和导致的轨迹跟踪性能退化 甚至于无法跟踪期望轨迹. 同时,本文为全向移动 机器人高性能轨迹跟踪的实际应用提供了理论 基础. 根据以上文献介绍,本文在基于文献[17鄄鄄 19] 基础上,推导了三轮全向移动机器人的运动学与动 力学模型,并考虑其存在参数不确定和外部扰动情 况,利用障碍 Lyapunov 函数与反步法,保证在跟踪 期望轨迹过程中,机器人运动状态始终不会违反系 统状态约束,同时,设计了饱和补偿器,通过辅助系 统补偿输入饱和产生的影响,并利用 Lyapunov 理论 证明了所提出的自适应抗饱和跟踪控制器能够保证 闭环系统中所有信号有界,最后,通过仿真计算与其 他控制器比较,验证了所提出算法的鲁棒性和可 靠性. 1 全向移动机器人模型 如图 1(a)所示,本文主要针对一类三轮驱动的 全向移动机器人进行研究. 不同于传统两轮差分机 器人存在非完整约束的情况,此类移动机器人通过 三组全向轮,可以实现平面三自由度的无约束运动, 能够进行横向、纵向及旋转运动,具有更好的机动性 与可控性. 图 1 三轮全向移动机器人与受力分析. (a)机器人示意图;(b)受力分析 Fig. 1 Three鄄wheeled omnidirectional mobile robot and force analysis: (a) schematic of the robot; (b) force analysis 1郾 1 运动学模型 全向移动机器人的运动学模型如下式所示: x · y · 兹 æ è ç ç ç ö ø ÷ ÷ · ÷ = cos 兹 - sin 兹 0 sin 兹 cos 兹 0 æ è ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ 0 0 1 vx vy æ è ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ 棕 (1) 式中,x · ,y · ,兹 · 是 x,y,兹 的微分,且 x,y,兹 分别表示图 1(b)所示的世界坐标系 XW OW YW 下机器人质心 OR 的横纵坐标以及与机器人坐标系 XRORYR 所成的夹 角,vx,vy,棕 表示机器人的纵向速度、横向速度和旋 转角速度. 进一步,机器人本体运动速度与三轮转 速的变换关系可由下式给出. vx vy æ è ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ 棕 = r - 1 2 - 1 2 1 3 2 - 3 2 0 1 L 1 L 1 æ è ç ç ç ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ L 棕1 棕2 棕 æ è ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ 3 (2) 式中,棕i(i = 1,2,3)表示轮子 i 的转动角速度,r 是 轮子半径,L 是机器人质心到轮子中心的垂线距离. 1郾 2 动力学模型 对全向移动机器人受力分析如图 1( b)所示,f i (i = 1,2,3)表示第 i 个驱动轮产生的驱动力,驱动 电机的输入力矩 子i(i = 1,2,3)与驱动力之间的关系 可由直流电机方程导出,如式(3)所示: Iw棕 · i + c棕i = n子i - rf i (3) 式中,Iw 是轮子的转动惯量,c 是粘滞摩擦系数,n 表 示电机减速器的减速倍数. 假设所有驱动电机和全 向轮具有相同的物理特性. 类似文献[2] 的推导过程,机器人的受力分析 如下式所示: m( v · x - vy 兹 · ) = - 1 2 f 1 - 1 2 f 2 + f 3 m( v · y + vx 兹 · ) = 3 2 f 1 - 3 2 f 2 IR 兹 ·· = L(f 1 + f 2 + f 3 ì î í ï ï ï ï ï ï ) (4) 式中,m 和 IR 分别表示机器人本体的质量和转动惯量. 综合式(1) ~ (4),可得动力学模型如下所示: v · x v · y 棕 æ è ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ · = - a1 vx a1 vy a3 æ è ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ 棕 + a2棕vy - a2棕vx æ è ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ 0 + - b1 - b1 2b1 3b1 - 3b1 0 b2 b2 b æ è ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ 2 子 + d * (5) ·1178·
郑文吴等：具有状态约束与输入饱和的全向移动机器人自适应跟踪控制 ·1179 式中，d°=(d,d,d)T是机器人受到的未知有 2,3),其中6,6，是正常数：且参考模型的状态约束 界扰动，：=（红1,72,73）”是机器人输人力矩向量. 界应小于跟踪机器人的状态约束界，即满足δ：0和x∈R,不等式 器人的输入力矩必须在有界范围内，可由如下公式 0≤lxl-xtanh(ex)≤l/e恒成立，其中l是常数，且 表示： 满足等式l=e-(1+),l≈0.2785. T0>Timax 引理2]：对于任意正常数k∈R+,当Ix|<k T:=Ta -Tmin≤T0≤Tmxi=1,2,3(7) 、-Timin Ti0<-Timin 时不等式山终收立 式中，Tms,一Tn分别表示饱和约束的上界和下界， 引理3[]：如果一个连续正定的Lyapunov函数 To(i=1,2,3)是需要设计的控制输入，记T:=sat V(x)满足K(Ix‖)≤V(x)≤K2(IxⅡ)，其中K1, (T0). K2是K类函数，且V(x)满足V(x)≤-aV(x)+b, 此外，在实际机器人运动过程中，由于空间限制 其中a,b是正常数，则对于任意有界初始状态 或安全性考虑，机器人的运动范围和运动速度往往 x(t),解x(t)必将一致有界 需要受到约束，即机器人存在状态受限情况，需要 考虑全向移动机器人系统模型(5)，其给定参 满足： 考轨迹为q.=(x水，0)I,定义变量如下所示： I911<Bi,192:I<B2i(i=1,2,3) (8) 31=91-91.=(1,12,21g)T 式中，B:,B2是正常数，表示状态的约束界限 (9) z2=92-=(,n,3)r 为方便跟踪控制器设计，以下提出三条合理的 其中a=(a1,4,a)「是虚拟变量，其数学表达式 假设 随后给出. 假设1：对于给定的参考轨迹q.=(x,y.,0.)T 利用反步法，首先取障碍Lyapunov函数如下： 及其相应参考速度q.=(u,心.，ω，)T,需要满足相 3 应的状态约束关系，即1q1m|<6:,|q2m|<δ2：(i=1, (10)
郑文昊等: 具有状态约束与输入饱和的全向移动机器人自适应跟踪控制 式中,d * = (d * 1 ,d * 2 ,d * 3 ) T 是机器人受到的未知有 界扰动,子 = (子1 ,子2 ,子3 ) T 是机器人输入力矩向量. 令 q1 = (x,y,兹) T 和 q2 = (vx,vy,棕) T ,则全向移 动机器人模型(1)和(5)可写成: q · 1 = J(兹)q2 q · 2 = Aq2 + a2S(q2 ) + B子 + d { * (6) 模型中各参数表示如下所示: A = diag{ - a1 , - a1 , - a3 }, a1 = 3c/ (3Iw + 2mr 2 ), a2 = 2mr 2 / (3Iw + 2mr 2 ), a3 = 3cL 2 / (3Iw L 2 + IR r 2 ), b1 = nr/ (3Iw + 2mr 2 ), b2 = krL / (3Iw L 2 + IR r 2 ), J(兹) = cos 兹 - sin 兹 0 sin 兹 cos 兹 0 æ è ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ 0 0 1 , B = - b1 - b1 2b2 3b1 - 3b1 0 b2 b2 b æ è ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ 2 ,S(q2 ) = 棕vy - 棕vx æ è ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ 0 式中,a1 ,a2 ,a3 ,b1 ,b2 是正常数;需要注意的是,由 于机器人系统的物理参数如转动惯量、黏滞摩擦系 数等测量具有误差,因此系统具有模型不确定性. 1郾 3 控制目标 在实际机器人系统中存在输入饱和现象,即机 器人的输入力矩必须在有界范围内,可由如下公式 表示: 子i = 子imax 子i0 > 子imax 子i0 - 子imin臆子i0臆子imax - 子imin 子i0 0 和 x沂R,不等式 0臆| x | - xtanh (着x)臆l / 着 恒成立,其中 l 是常数,且 满足等式 l = e - (l + 1) ,l抑0郾 2785. 引理 2 [17] :对于任意正常数 k沂R + ,当 | x | < k 时,不等式 ln k 2 k 2 - x 2臆 x 2 k 2 - x 2始终成立. 引理 3 [25] :如果一个连续正定的 Lyapunov 函数 V(x)满足 资1 (椰x椰)臆V(x)臆资2 (椰x椰),其中 资1 , 资2 是 资 类函数,且 V( x)满足 V · ( x)臆 - aV( x) + b, 其中 a, b 是正常数, 则对于任意有界初始 状 态 x(t 0 ),解 x(t)必将一致有界. 考虑全向移动机器人系统模型(5),其给定参 考轨迹为 q1r = (xr,yr,兹r) T ,定义变量如下所示: z1 = q1 - q1r = (z11 ,z12 ,z13 ) T z2 = q2 - 琢 = (z21 ,z22 ,z23 ) { T (9) 其中 琢 = (琢1 ,琢2 ,琢3 ) T 是虚拟变量,其数学表达式 随后给出. 利用反步法,首先取障碍 Lyapunov 函数如下: V1 = 1 2 移 3 i = 1 ln k 2 ai k 2 ai - z 2 1i (10) ·1179·
·1180· 工程科学学报，第41卷，第9期 其中K。=diag{k,k2,ka},k(i=1,2,3)是正常 数，其取值可由k=B:-δ：(i=1,2,3)确定. ∑(B本 }Bw△r (16) 保-场 台保-场： 对V,求导可得： 为了解决控制器输入饱和问题，设计辅助系统 21:21i (抗饱和补偿器)如下： (11) kai (17) 其中1=91-9.=J(8)42-91.=J(8)(32+)- :=-(k+-品 9.,设计虚拟变量a如下所示： 式中，k,和k是正常数，△T:=T:-Ta表示第i个执 a=J'(0)(91.-K31） (12) 行器饱和的控制输入与无饱和约束的控制输入之 其中K1=diag{k1,k2,k13},k:(i=1,2,3)是正 差，且辅助变量专=(5,2,5)的初始值定义为 常数. (0)=(0,0,0) 进一步，式(11)代入元，和x表达式可得公式 取Lyapunov函数如下： (13): ++立立+5(18) 经·含9 3 J(0)z2 V=V:+2 12y: =- (13) 式中，ya,Y(i=1,2,3,4)均为正常数. 式中，J,(0)是矩阵J(0)的第i个行向量. 结合式(13)，(16)和(17)，对式(18)求导 然后，取Lyapunov函数如下所示： 可得： V,=V+2 ≤- 燕·三 3 子J()z+ (14) 其中k(i=1,2,3)是正常数；对式(14)求导可得： Iz21(1v,10,+lav,102)1zz1(1v,10,lov,102) 品-场 品-2 2=+ 22x 启品-品 (15) 1z23110103 +1(8,+d) 根据机器人动力学模型结合式(9)可得2=Aq2+ 品- i=i 品-安 a2S(92)+Br+d°- 含ag 为处理机器人动力学模型中参数不确定和未知 品-五 扰动问题，定义未知正常数01=a1,02=a2,93=a3; 输入矩阵B中同样存在不确定参数，且由标称矩阵 名·名ai+含 i=1 Ya (19) B。与误差矩阵△B构成，满足B=B。+△B;由于机 器人存在输入饱和，故‖r‖≤37,7=max{Tms, 定义tanh(sz2）=(tanh(ez21),tanh（ez2）, Tm(i=1,2,3)}:假设川△B‖存在未知上界，则‖ tanh(czz)T,设计控制器如下： △Br‖存在未知上界04.定义0，02,0,6，分别是正 T=-B。[h1+h2+K2(z2-5)+ (8,+d)tanh(ez2）-d] (20) 常数0,62,0,0，的估计值，则估计误差定义为：8= 其中K,=diag{k,k2,k3},且k为正常数：令h,= 0-0,扰动上界的估计值定义为d,估计误差定义 (h,h2,h)T其中： 为a=d-d.此外，定义△r=T-To,T= (h=(0lv,1 +02lov,1)tanh (sza) (T1o,T0,T0)「是未饱和限制的理想输入.通过以 h2=(01v,1 +021ov,1)tanh (sz2)(21) 上分析可得：元2=Aq2+a2S(q2)+BT+B△r+ h13=03 Ioltanh (8223) △Bx+d°-d,代入式(15)可得： 令h2=(h21,h2,h2s)T其中： =成+言后产Aa:+as,+ h2=(品-) 31C0s6,212sin8 品-品品-品 BTo+B△r+△B,r+d,-d]≤V+ zusin 6 2cos 0 lll,18+lo,182+l之zl(l,18+lom,I8,）+ =(品-品)（后-乐格-品 (22) 品- 品-品 o9+8++ ,=（层-品) - 品- =1 品-五： 将式(20)~(22)代入公式(19)可得：
工程科学学报,第 41 卷,第 9 期 其中 Ka = diag{ ka1 ,ka2 ,ka3 },kai ( i = 1,2,3) 是正常 数,其取值可由 kai = 茁1i - 啄1i(i = 1,2,3)确定. 对 V1 求导可得: V · 1 = 移 3 i = 1 z1i z · 1i k 2 ai - z 2 1i (11) 其中 z · 1 = q · 1 - q · 1r = J(兹) q2 - q · 1r = J(兹) (z2 + 琢) - q · 1r,设计虚拟变量 琢 如下所示: 琢 = J T (兹)( q · 1r - K1 z1 ) (12) 其中 K1 = diag { k11 ,k12 , k13 }, k1i ( i = 1,2,3) 是正 常数. 进一步,式(11) 代入 z · 1 和 琢 表达式可得公式 (13): V · 1 = - 移 3 i = 1 k1i z 2 1i k 2 ai - z 2 1i + 移 3 i = 1 z1iJi(兹)z2 k 2 ai - z 2 1i (13) 式中,Ji(兹)是矩阵 J(兹)的第 i 个行向量. 然后,取 Lyapunov 函数如下所示: V2 = V1 + 1 2 移 3 i = 1 ln k 2 ai k 2 bi - z 2 2i (14) 其中 kbi(i = 1,2,3)是正常数;对式(14)求导可得: V · 2 = V · 1 + 移 3 i = 1 z2i z · 2i k 2 bi - z 2 2i (15) 根据机器人动力学模型结合式(9)可得 z · 2 = Aq2 + a2S(q2 ) + B子 + d * - 琢 · . 为处理机器人动力学模型中参数不确定和未知 扰动问题,定义未知正常数 兹1 = a1 ,兹2 = a2 ,兹3 = a3 ; 输入矩阵 B 中同样存在不确定参数,且由标称矩阵 B0 与误差矩阵 驻B 构成,满足 B = B0 + 驻B;由于机 器人存在输入饱和,故椰子椰臆 3 子,子 = max { 子imax, 子imin (i = 1,2,3)};假设椰驻B椰存在未知上界,则椰 驻B子椰存在未知上界 兹4 . 定义 ^ 兹1 , ^ 兹2 , ^ 兹3 , ^ 兹4 分别是正 常数 兹1 ,兹2 ,兹3 ,兹4 的估计值,则估计误差定义为:兹寛i = ^ 兹i - 兹i,扰动上界的估计值定义为 ^ d,估计误差定义 为 d寛 = ^ d - d. 此 外, 定 义 驻子 = 子 - 子0 , 子0 = (子10 ,子20 ,子30 ) T 是未饱和限制的理想输入. 通过以 上分析可得: z · 2 = Aq2 + a2S( q2 ) + B0 子0 + B0驻子 + 驻B子 + d * - 琢 · ,代入式(15)可得: V · 2 = V · 1 + 移 3 i = 1 z2i k 2 bi - z 2 2i [Aiq2 + a2S (q2 )i + B0i子0 + B0i驻子 + 驻Bi子 + d * i - 琢 · i]臆V · 1 + |z21 |( |vx |兹1 + |棕vy |兹2 ) k 2 b1 - z 2 21 + |z22 |( |vy |兹1 + |棕vx |兹2 ) k 2 b2 - z 2 22 + |z23 | | 棕| 兹3 k 2 b3 - z 2 23 + 移 3 i = 1 |z2i | (兹4 + d) k 2 bi - z 2 2i + 移 3 i = 1 z2i(B0i子0 - 琢 · i) k 2 bi - z 2 2i + 移 3 i = 1 z2iB0i驻子 k 2 bi - z 2 2i (16) 为了解决控制器输入饱和问题,设计辅助系统 (抗饱和补偿器)如下: 孜 · i = - ( k3i + k4i k 2 bi - z 2 2 ) i 孜i + 驻子i (17) 式中,k3i和 k4i是正常数,驻子i = 子i - 子0i表示第 i 个执 行器饱和的控制输入与无饱和约束的控制输入之 差,且辅助变量 孜 = (孜1 ,孜2 ,孜3 ) T 的初始值定义为 孜(0) = (0,0,0) T . 取 Lyapunov 函数如下: V = V2 + 1 2酌d d寛2 i + 移 4 i = 1 1 2酌i 兹寛2 i + 1 2 孜 T 孜 (18) 式中,酌d ,酌i(i = 1,2,3,4)均为正常数. 结合式 ( 13 ), ( 16 ) 和 ( 17 ), 对式 ( 18 ) 求 导 可得: V ·臆 - 移 3 i = 1 k1i z 2 1i k 2 ai - z 2 1i + 移 3 i = 1 z1iJi(兹)z2 k 2 ai - z 2 1i + |z21 | ( |vx | 兹1 + |棕vy | 兹2 ) k 2 b1 - z 2 21 + |z22 | ( |vy | 兹1 + |棕vx | 兹2 ) k 2 b2 - z 2 22 + |z23 | | 棕| 兹3 k 2 b3 - z 2 23 + 移 3 i = 1 |z2i | (兹4 + d) k 2 bi - z 2 2i + 移 3 i = 1 z2i(B0i子0 - 琢 · i) k 2 bi - z 2 2i + 移 3 i = 1 z2iB0i驻子 k 2 bi - z 2 2i - 移 3 i = 1 k3i 孜 2 i - 移 3 i = 1 k4i k 2 bi - z 2 2i 孜 2 i + 移 3 i = 1 孜i驻子i + 1 酌d d寛i ^ d · i + 移 4 i = 1 1 酌i 兹寛i ^ 兹 · i (19) 定义 tanh ( 着z2 ) = ( tanh ( 着z21 ),tanh ( 着z22 ), tanh (着z23 )) T ,设计控制器如下: 子0 = - B - 1 0 [h1 + h2 + K2 (z2 - 孜) + ( ^ 兹4 + ^ d)tanh (着z2 ) - 琢 · ] (20) 其中 K2 = diag{k21 ,k22 ,k23 },且 k2i为正常数;令 h1 = (h11 ,h12 ,h13 ) T 其中: h11 = ( ^ 兹1 |vx | + ^ 兹2 | 棕vy | )tanh (着z21 ) h12 = ( ^ 兹1 |vy | + ^ 兹2 | 棕vx | )tanh (着z22 ) h13 = ^ 兹3 | 棕| tanh (着z23 ì î í ïï ïï ) (21) 令 h2 = (h21 ,h22 ,h23 ) T 其中: h21 = (k 2 b1 - z 2 b1 ) ( z11 cos 兹 k 2 a1 - z 2 11 + z12 sin 兹 k 2 a2 - z 2 1 ) 2 h22 = (k 2 b2 - z 2 b2 ) ( - z11 sin 兹 k 2 a1 - z 2 11 + z12 cos 兹 k 2 a2 - z 2 ) a2 h23 = z13 (k 2 b3 - z 2 b3 ) k 2 a3 - z 2 ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï a3 (22) 将式(20) ~ (22)代入公式(19)可得: ·1180·
郑文吴等：具有状态约束与输入饱和的全向移动机器人自适应跟踪控制 ·1181· ∑ 3 3 ≤- 将式(24)和(25)代入式(23)，根据引理1和假 Iz1(Iv,10 +lov,102)Izz1(lv,10+lov,102) 设3，结合等式a=(2+产-')与间=2（+ 品- 品-品 -)可得： 1z111 己l2sI(8,+d) 品-坛 品-： zatanh (z)(+) 品-场 保豆)小日豆-至 tanh (z (0+lov) 品-品 ,2”20小 品-盆 atanh ()1o10 品-五 名是·名 tanh（si)(9,+d+ + 弓k5+ 三+学优+享) (26) 品-运 品-场 3 需要注意的是，饱和补偿器状态受到1△r:的值 影响，且I△r:I应有界，若1△x:I→∞则表示系统跟踪 上参考轨迹所需的控制是输入无穷大的，此时饱和 名+宫近 (23) 补偿器失效，且系统无法完成期望轨迹的跟踪 设计未知参数d,0,(i=1,2,3,4)的自适应律如 根据以上控制器设计思路，提出了如下定理 下所示： 定理1：考虑全向移动机器人系统(6)，在假设 1~3的情况下，若初始值a:(0)∈中1叁{Iz:I0,k:> |v,I ztanh(ez22） 品-品 -YiYo0 0,k:>0和k4:>k:,在自适应饱和控制器(20)和自 适应律(24)的作用下，通过选取合适的控制参数及 62=y2 loe,1ztanh（e2）+ k与kw,.和z2能够收敛到原点足够小的邻域内， 品- 且机器人的系统状态满足Iq:I<B:,Iq2<P2:(i= lwr.|zztanh（ez22） 1,2,3):闭环系统的所有信号实现一致有界 品-品 -Y2Y02 证明：取o=max{1/-,i=1,2,3},根据 63=Y3 [I w I zztanh（Ez23） 引理2，式(26)可简化为： 品-运 -当%月 6=立uae) i=1 品- -YaYo0 民+宫)-宫4+8+ d=zitann (i-yaYod i=1 品-品 P2P382+P,81+P1P382+P303+30。+3d)+ (24) 1传宫 式中，y。是正常数 -nV+p (27) 基于杨不等式，下列不等式成立： 假设△r具有未知上界v,且IBI2I△rI2具有 32B△r k2,‖Bm‖2‖△r‖2 未知上界山，因此， 品-场4（后-） k2(-:) (n=min 2ku,k,Yo,ks,i=1,2,3 p=p,8+Ppp8,+p,8+Ppp4+p8+30+ k25≤ k2 k经 原-名4（除-）+原- (25) (28)
郑文昊等: 具有状态约束与输入饱和的全向移动机器人自适应跟踪控制 V ·臆 - 移 3 i = 1 k1i z 2 1i k 2 ai - z 2 1i - 移 3 i = 1 k2i z 2 2i k 2 bi - z 2 2i + |z21 |( |vx |兹1 + |棕vy |兹2 ) k 2 b1 - z 2 21 + |z22 |( |vy |兹1 + |棕vx |兹2 ) k 2 b2 - z 2 22 + |z23 | | 棕| 兹3 k 2 b3 - z 2 23 + 移 3 i = 1 |z2i | (兹4 + d) k 2 bi - z 2 2i - z21 tanh (着z21 )( |vx | ^ 兹1 + | 棕vy | ^ 兹2 ) k 2 b1 - z 2 21 - z22 tanh (着z22 )( |vy | ^ 兹1 + | 棕vx | ^ 兹2 ) k 2 b2 - z 2 22 - z23 tanh (着z23 ) | 棕| ^ 兹3 k 2 b3 - z 2 23 - 移 3 i = 1 z2i tanh (着z2i)( ^ 兹4 + ^ d) k 2 bi - z 2 2i + 移 3 i = 1 k2i z2i 孜i k 2 bi - z 2 2i + 移 3 i = 1 z2iB0i驻子 k 2 bi - z 2 2i - 移 3 i = 1 k3i 孜 2 i - 移 3 i = 1 k4i k 2 bi - z 2 2i 孜 2 i + 移 3 i = 1 孜i驻子i + 1 酌d d寛i ^ d · i + 移 4 i = 1 1 酌i 兹寛i ^ 兹 · i (23) 设计未知参数 d,兹i(i = 1,2,3,4)的自适应律如 下所示: ^ 兹 · 1 = 酌1 [ | vx | z21 tanh (着z21 ) k 2 1 - z 2 21 + | vy | z22 tanh (着z22 ) k 2 b2 - z 2 2 ] 2 - 酌1酌0 ^ 兹1 ^ 兹 · 2 = 酌2 [ | 棕vy | z21 tanh (着z21 ) k 2 b1 - z 2 21 + | 棕vx | z22 tanh (着z22 ) k 2 b2 - z 2 2 ] 2 - 酌2酌0 ^ 兹2 ^ 兹 · 3 = 酌3 [ | 棕 | z23 tanh (着z23 ) k 2 b3 - z 2 2 ] 3 - 酌3酌0 ^ 兹3 ^ 兹 · 4 = 酌4移 3 i = 1 z2i tanh (着z2i) k 2 bi - z 2 2i - 酌4酌0 ^ 兹4 ^ d · = 酌d移 3 i = 1 z2i tanh (着z2i) k 2 bi - z 2 2i - 酌d酌0 ^ ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï d (24) 式中,酌0 是正常数. 基于杨不等式,下列不等式成立: z2iB0i驻子 k 2 bi - z 2 2i 臆 k2i z 2 2i 4(k 2 bi - z 2 2i) + 椰B0i椰2 椰驻子椰2 k2i(k 2 bi - z 2 2i) 孜i驻子i臆 k3i 2 孜 2 i + 驻子 2 i 2k3i k2i z2i 孜i k 2 bi - z 2 2i 臆 k2i z 2 2i 4(k 2 bi - z 2 2i) + k2i 孜 2 i k 2 bi - z 2 2 ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï i (25) 将式(24)和(25)代入式(23),根据引理 1 和假 设 3,结合等式 d寛^ d = 1 2 (d寛2 + ^ d 2 - d 2 )与 兹寛i ^ 兹i = 1 2 ( ^ 兹 2 i + 兹寛2 i - 兹 2 i )可得: V ·臆 - 移 3 i =1 k1i z 2 1i k 2 ai - z 2 1i - 1 2 移 3 i =1 k2i z 2 2i k 2 bi - z 2 2i - 酌0 ( 2 d寛2 i + 移 4 i =1 兹寛2 i ) - 1 2 移 3 i =1 k3i 孜 2 i - 移 3 i =1 (k4i - k2i)孜 2 i k 2 bi - z 2 2i + l [ 着 p1 兹1 + p2 p3 兹2 k 2 b1 - z 2 21 + p2 兹1 + p1 p3 兹2 k 2 b2 - z 2 22 + p3 兹3 k 2 b2 - z 2 2 ] 2 + l 着 移 3 i = 1 兹4 + d k 2 bi - z 2 2i + 移 3 i = 1 椰B0i椰2 椰驻子椰2 k2i(k 2 bi - z 2 2i) + 移 3 i = 1 驻子 2 i 2k3i + 酌0 ( 2 d 2 i + 移 4 i = 1 兹 2 i ) (26) 需要注意的是,饱和补偿器状态受到| 驻子i | 的值 影响,且|驻子i |应有界,若|驻子i |寅肄 则表示系统跟踪 上参考轨迹所需的控制是输入无穷大的,此时饱和 补偿器失效,且系统无法完成期望轨迹的跟踪. 根据以上控制器设计思路,提出了如下定理. 定理 1:考虑全向移动机器人系统(6),在假设 1 ~ 3 的情况下,若初始值 z1i(0)沂椎1劬{ | z1i | 0,k2i > 0,k3i > 0 和 k4i > k3i,在自适应饱和控制器(20)和自 适应律(24)的作用下,通过选取合适的控制参数及 kai与 kbi,z1i和 z2i能够收敛到原点足够小的邻域内, 且机器人的系统状态满足 | q1i | < 茁1i, | q2i | < 茁2i ( i = 1,2,3);闭环系统的所有信号实现一致有界. 证明:取 滓 = max {1 / k 2 bi - z 2 2i,i = 1,2,3},根据 引理 2,式(26)可简化为: V ·臆 - 移 3 i = 1 k1i ln k 2 ai k 2 ai - z 2 1i - 1 2 移 3 i = 1 k2i ln k 2 bi k 2 bi - z 2 2i - 酌0 ( 2 d寛2 i + 移 4 i = 1 兹寛2 i ) - 1 2 移 3 i = 1 k3i 孜 2 i + 滓l 着 (p1 兹1 + p2 p3 兹2 + p2 兹1 + p1 p3 兹2 + p3 兹3 + 3兹4 + 3d) + 滓移 3 i =1 椰B0i椰2 椰驻子椰2 k2i +移 3 i =1 驻子 2 i 2k3i + 酌0 ( 2 d 2 i +移 4 i =1 兹 2 i ) 臆 - 浊V + 籽 (27) 假设 驻子 2 i 具有未知上界 自,且椰B0i椰2 椰驻子椰2 具有 未知上界 鬃,因此, 浊 = min {2k1i,k2i,酌0 ,k3i,i = 1,2,3} 籽 = 滓l 着 (p1 兹1 + p2 p3 兹2 + p2 兹1 + p1 p3 兹2 + p3 兹3 + 3兹4 + 3d) + 移 3 i =1 滓鬃 k2i + 移 3 i =1 自 2k3i + 酌0 ( 2 d 2 i + 移 4 i =1 兹 2 ) ì î í ï ï ï ï ï ï i (28) ·1181·
·1182 工程科学学报，第41卷，第9期 进一步分析可得：0≤V(t)≤(V(o)-卫)e+卫≤ 导致的输入饱和问题.为对比本文提出的方法在处 理状态约束与输入饱和的有效性，替换控制器中障 V(0)+卫，根据引理3可知闭环系统中的所有信号 碍Lyapunov项并去除抗饱和补偿器状态项专，利用 都能保持一致有界，进一步可知： 作统形式=（宫云+宫）根 n≤((o)-)e+n 据以上相同推导过程，提出一种未考虑状态约束和 7 (29 输入饱和的自适应控制器如式(30)所示，其余控制 ne5≤(P(o)-)e”+e 参数与本文提出的控制器(20)完全一致. 注释1：本文采用障碍Lyapunov方法处理状态 解得：lrl≤km√1-e-2o-ne-+p阿<k和l≤ 约束，结合反步法设计过程，通过设计k和k.的取 k,√-e-o-mew可<ku;当p/减小时， 值限制反步误差变量1和2，的变化范围，当a:一→k 1z:I,Iz2:将随着时间逐渐减小趋近于原点的邻域， 和z2:→k.时，障碍Lyapunov函数将逼近于无穷，其 即在控制器参数中，选择较大的ε，k2有利于减小p, 中k的取值可由kt=B1:-61:确定，而ku的取值则 选择较大的k:,k2x,Yo,k可以增大7，然而增大Yo 跟反步法的虚拟变量a&:有关，其取值为k=B:- 会导致p增大，因此需要特别注意y。的取值，会影 62:-|a,lnmx·因此通过障碍Lyapunov函数，限制z: 和z2,变化始终满足：<k和z2<k.,进而保证了全 响最终收敛界的大小.证明完毕。 向移动机器人在跟踪过程中系统的状态约束界限不 为了保证跟踪过程中机器人始终满足状态约 会被违反，从而满足机器人运动空间限制并提高工 束，在自适应反步中用到了障碍Lyapunov函数，同 时利用饱和补偿器(17)有效处理了电机性能受限 作的安全性 [r=-B。[h,+h2+K2z2+(84+d)tanh(sz2）-a] hu=(01 v,I+0 I ov,1)tanh (sz)h2 =(01 vI+0 I wv,I )tanh (szz) hg=03 I wl tanh(ez23） h2 zucos 0+21sin 0,h22=-zusin 6 +z2cos 0,h2s zcos 0 0 Yi[I v,I zatanh (sz21)+lv I zztanh (szz2)]-Y1Yoe (30) 0 =y2[l ov,I zatanh (z)+l ov,I ztanh (z)]-Y2Y00 h(ca）-⅓%8,6=Y2an 3 d =Yaztanh (z)-YaYod i=1 注释2：针对输入饱和问题，本文采用抗饱和补 制器参数选择如下：k=0.5,k=k=k:=0.1, 偿器(17)解决这一问题，当系统所需的控制力矩大 k2i=0.5,k=0.3,Yo=0.2,y1=y2=Y3=y4=ya= 于执行器性能时△r:≠0，此时抗饱和补偿器通过生 1,e=100;自适应参数的初始估计值为：6，(0)= 成状态专：补偿由于输入饱和引起的执行偏差影响， 0.0254,02(0)=0.4344,03(0)=0.0176,04(0)= 直到△r:=0.进一步，k,和k的取值大小会影响饱 0.2,d(0)=0.1且系统状态约束表示为1q,1< 和补偿器的补偿速度，其取值越大，辅助系统的补偿 (1.5m,2m,1rad)和1q21<(0.3m·s-1,0.25m 速度越快.因此，通过抗饱和辅助系统(17)，本文有 s-1,0.15rads1)T,系统输人饱和取值为1T:I≤1 效处理了执行器饱和导致的不利影响，保证了输入 受限条件下，机器人仍能完成期望的轨迹跟踪 Nm,外部扰动为d·=[0.01sin(0.1t),0.02sin (0.2t),0.5sin(0.03t)]TNm:全向移动机器人轨 3仿真分析 迹跟踪的初始状态为q(0)=(0.3m,0.45m,-0.4 全向移动机器人模型参数如表1所示，全向移 rad)和q2(0)=(0.15m·s-1,0.45m·s-1,-0.4 动机器人模型中参数的实际值与标称值可由式(6) rad·s1):应用自适应饱和控制器(20)和自适应律 计算得出；且给定参考轨迹q,=[sin(0.2t)m, (24)后仿真结果如图2~5所示，仿真图中的虚直 1.5sin(0.1t)m,0.5sin(0.1t)rad]T,自适应饱和控 线表示状态约束与输入饱和的上下界限
工程科学学报,第 41 卷,第 9 期 进一步分析可得:0臆V(t)臆 ( V(0) - 籽 ) 浊 e - 浊t + 籽 浊 臆 V(0) + 籽 浊 ,根据引理 3 可知闭环系统中的所有信号 都能保持一致有界,进一步可知: ln k 2 ai k 2 ai - z 2 1i 臆 ( V(0) - 籽 ) 浊 e - 浊t + 籽 浊 ln k 2 bi k 2 bi - z 2 2i 臆 ( V(0) - 籽 ) 浊 e - 浊t + 籽 ì î í ï ï ï ï 浊 (29) 解得:|z1i |臆kai 1 - e -2[(V(0) - 籽/ 浊)e - 浊t + 籽/ 浊] < kai和|z2i |臆 ki 1 - e - 2[(V(0) - 籽 / 浊)e - 浊t + 籽 / 浊] < kbi; 当 籽 / 浊 减 小 时, |z1i | , |z2i |将随着时间逐渐减小趋近于原点的邻域, 即在控制器参数中,选择较大的 着,k2i有利于减小 籽, 选择较大的 k1i,k2i,酌0 ,k3i可以增大 浊,然而增大 酌0 会导致 籽 增大,因此需要特别注意 酌0 的取值,会影 响最终收敛界的大小. 证明完毕. 为了保证跟踪过程中机器人始终满足状态约 束,在自适应反步中用到了障碍 Lyapunov 函数,同 时利用饱和补偿器(17)有效处理了电机性能受限 导致的输入饱和问题. 为对比本文提出的方法在处 理状态约束与输入饱和的有效性,替换控制器中障 碍 Lyapunov 项并去除抗饱和补偿器状态项 孜,利用 传统 Lyapunov 形式:V2 = ( 1 2 移 3 i = 1 z 2 1i + 移 3 i = 1 z 2 2i ) ,根 据以上相同推导过程,提出一种未考虑状态约束和 输入饱和的自适应控制器如式(30)所示,其余控制 参数与本文提出的控制器(20)完全一致. 注释 1:本文采用障碍 Lyapunov 方法处理状态 约束,结合反步法设计过程,通过设计 kai和 kbi的取 值限制反步误差变量 z1i和 z2i的变化范围,当 z1i寅kai 和 z2i寅kbi时,障碍 Lyapunov 函数将逼近于无穷,其 中 kai的取值可由 kai = 茁1i - 啄1i确定,而 kbi的取值则 跟反步法的虚拟变量 琢i 有关,其取值为 kbi = 茁2i - 啄2i - | 琢i | max . 因此通过障碍 Lyapunov 函数,限制 z1i 和 z2i变化始终满足 z1i < kai和 z2i < kbi,进而保证了全 向移动机器人在跟踪过程中系统的状态约束界限不 会被违反,从而满足机器人运动空间限制并提高工 作的安全性. 子 = - B -1 0 [h1 + h2 + K2 z2 + ( ^ 兹4 + ^ d)tanh (着z2 ) - 琢 · ] h11 = ( ^ 兹1 | vx | + ^ 兹2 | 棕vy | )tanh (着z21 ),h12 = ( ^ 兹1 | vy | + ^ 兹2 | 棕vx | )tanh (着z22 ) h13 = ^ 兹3 | 棕 | tanh (着z23 ) h21 = z11 cos 兹 + z12 sin 兹,h22 = - z11 sin 兹 + z12 cos 兹,h23 = z12 cos 兹 ^ 兹 · 1 = 酌1 [| vx | z21 tanh (着z21 ) +| vy | z22 tanh (着z22 )] - 酌1酌0 ^ 兹1 ^ 兹 · 2 = 酌2 [| 棕vy | z21 tanh (着z21 ) +| 棕vx | z22 tanh (着z22 )] - 酌2酌0 ^ 兹2 ^ 兹 · 3 = 酌3 | 棕 | z23 tanh (着z23 ) - 酌3酌0 ^ 兹3 , ^ 兹 · 4 = 酌4移 3 i = 1 z2i tanh (着z2i) - 酌4酌0 ^ 兹4 ^ d · = 酌d移 3 i = 1 z2i tanh (着z2i) - 酌d酌0 ^ ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï d (30) 注释 2:针对输入饱和问题,本文采用抗饱和补 偿器(17)解决这一问题,当系统所需的控制力矩大 于执行器性能时 驻子i屹0,此时抗饱和补偿器通过生 成状态 孜i 补偿由于输入饱和引起的执行偏差影响, 直到 驻子i = 0. 进一步,k3i和 k4i的取值大小会影响饱 和补偿器的补偿速度,其取值越大,辅助系统的补偿 速度越快. 因此,通过抗饱和辅助系统(17),本文有 效处理了执行器饱和导致的不利影响,保证了输入 受限条件下,机器人仍能完成期望的轨迹跟踪. 3 仿真分析 全向移动机器人模型参数如表 1 所示,全向移 动机器人模型中参数的实际值与标称值可由式(6) 计算得出;且给定参考轨迹 q1r = [ sin (0郾 2t) m, 1郾 5sin (0郾 1t) m,0郾 5sin (0郾 1t) rad] T ,自适应饱和控 制器参数选择如下:kai = 0郾 5,kbi = k1i = k3i = 0郾 1, k2i = 0郾 5,k4i = 0郾 3,酌0 = 0郾 2, 酌1 = 酌2 = 酌3 = 酌4 = 酌d = 1,着 = 100;自适应参数的初始估计值为:兹1 (0) = 0郾 0254,兹2 (0) = 0郾 4344,兹3 (0) = 0郾 0176,兹4 (0) = 0郾 2,d(0 ) = 0郾 1 且系统状态约束表示为 | q1 | < (1郾 5 m,2 m,1 rad) T 和 | q2 | < (0郾 3 m·s - 1 ,0郾 25 m· s - 1 ,0郾 15 rad·s - 1 ) T ,系统输入饱和取值为 | 子i | 臆1 N·m,外部扰动为 d * = [0郾 01sin (0郾 1t), 0郾 02sin (0郾 2t), 0郾 5sin (0郾 03t)] T N·m;全向移动机器人轨 迹跟踪的初始状态为 q1 (0) = (0郾 3 m,0郾 45 m, - 0郾 4 rad) T 和 q2 (0) = (0郾 15 m·s - 1 ,0郾 45 m·s - 1 , - 0郾 4 rad·s - 1 ) T ;应用自适应饱和控制器(20)和自适应律 (24)后仿真结果如图 2 ~ 5 所示,仿真图中的虚直 线表示状态约束与输入饱和的上下界限. ·1182·
郑文吴等：具有状态约束与输入饱和的全向移动机器人自适应跟踪控制 ·1183· 表1全向移动机器人的物理参数 Table 1 Physical parameters of the omnidirectional mobile robot 机器人质量， 质心到轮子中心轮子半径， 黏滞摩擦系数，机器人转动惯轮子转动惯量， 减速机倍 数值 m/kg 垂线距离，L/m r/m c/(kgm2s)量，l/(kgm2)1/(kgm2) 数，n 实际值 10 0.50 0.100 0.01 20 0.10 1 标称值 0.55 0.005 0.12 25 0.12 a 0.5b) 0.5 -4v2 0.25 3-0.2 -0.4 0.2 3 -4us —93 0 -0.2 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 5 时间/s 时间s 图2在控制器(20)作用下的9，(a)和q2(b)跟踪性能 Fig.2 Tracking performance of q(a)and g2 (b)with the proposed controller (20) 0.6a) 0.2b) 04 211 0.1 02 13 0 -0.2 -0.4 -0.1 -0.6 -0.2 10 20 30 40 50 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 时间/s 时间s 图3在控制器(20)作用下的1(a)和2(b)的收敛特性 Fig.3 Convergence of (a)and z2 (b)with the controller (20) (a) b 2.5 2.0 315 -0.2 -E. 1.0 -0.4 0.5 10 20 30 40 50 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 时间/s 时间s 图4控制器(20)作用下的自适应参数更新律(a)和辅助系统状态(b) Fig.4 Adaptive laws (a)and auxiliary system status (b)with the controller (20) 图2(a)所示的是机器人的轨迹跟踪情况，图2 小邻域内，且误差始终位于有界区间内：图4(a)所 (b)所示的是速度跟踪情况，如仿真所示，机器人能 示的是五组自适应参数的估计值变化情况，图4(b) 够跟随期望轨迹，并且所有状态处于约束界内：图3 表示饱和补偿器的状态变化，图5显示了机器人输 所示的误差收敛特性，表明误差能够收敛到原点的 入力矩变化，根据仿真可知饱和补偿器有效处理了
郑文昊等: 具有状态约束与输入饱和的全向移动机器人自适应跟踪控制 表 1 全向移动机器人的物理参数 Table 1 Physical parameters of the omnidirectional mobile robot 数值 机器人质量, m/ kg 质心到轮子中心 垂线距离,L / m 轮子半径, r/ m 黏滞摩擦系数, c/ (kg·m 2·s - 1 ) 机器人转动惯 量,IR / (kg·m 2 ) 轮子转动惯量, Iw / (kg·m 2 ) 减速机倍 数,n 实际值 10 0郾 50 0郾 100 0郾 01 20 0郾 10 1 标称值 8 0郾 55 0郾 005 0郾 12 25 0郾 12 1 图 2 在控制器(20)作用下的 q1 (a)和 q2 (b)跟踪性能 Fig. 2 Tracking performance of q1 (a) and q2 (b) with the proposed controller (20) 图 3 在控制器(20)作用下的 z1 (a)和 z2 (b)的收敛特性 Fig. 3 Convergence of z1 (a) and z2 (b) with the controller (20) 图 4 控制器(20)作用下的自适应参数更新律(a)和辅助系统状态(b) Fig. 4 Adaptive laws (a) and auxiliary system status (b) with the controller (20) 图 2(a)所示的是机器人的轨迹跟踪情况,图 2 (b)所示的是速度跟踪情况,如仿真所示,机器人能 够跟随期望轨迹,并且所有状态处于约束界内;图 3 所示的误差收敛特性,表明误差能够收敛到原点的 小邻域内,且误差始终位于有界区间内;图 4( a)所 示的是五组自适应参数的估计值变化情况,图 4(b) 表示饱和补偿器的状态变化,图 5 显示了机器人输 入力矩变化,根据仿真可知饱和补偿器有效处理了 ·1183·
.1184 工程科学学报，第41卷，第9期 性能，从图中看出，在轨迹跟踪过程中q明显超出 1.0 了状态约束：图7所示的是z,和z,的收敛情况，与控 0.5 制器(20)相比的误差收敛情况相比，在控制器(30) -0.5 作用下，z2误差收敛速度大幅下降，图3(b)中z2大 -1.0 约在0.2s即可收敛到原点邻域内，而控制器(30) -1.5 0.2 0.40.6 0.8 1.0 下的z,的需要10s左右，且在原点附近有小幅震荡， 时间/s 其跟踪性能弱于控制器(20)：值得注意的是，控制 图5控制器(20)作用下的输出力矩 器(30)下的z,收敛的速度加快，但在原点附近的震 Fig.5 Input torque with the proposed controller (20) 荡幅度明显大于控制器(20)：图8表示的是控制器 输入力矩受限情况，具有较好的补偿特性.因此，本 (30)作用下的输入力矩，图中可知T2和T3明显超 文提出的自适应饱和控制器(20)能够有效处理系 出了输入饱和限制范围，在实际应用中，将会导致机 统状态约束和输入饱和，实现对期望轨迹的跟踪 器人跟踪性能的退化，甚至会无法完成期望轨迹的 为了说明控制器(20)在处理状态约束与输人 跟踪.因此，从控制器(20)与控制器(30)的对比可 饱和的有效性，自适应控制器(30)去除了障碍Lya- 以看出，障碍Lyapunov方法避免了超出状态约束情 punov函数相关项和辅助补偿系统状态项，其余控制 况的发生，且抗饱和补偿器有效处理了输入饱和问 参数与控制器(20)完全相同，其仿真效果如图6~8 题，最终实现了状态约束与输入饱和下的机器人期 所示.图6表示的是控制器(30)下q,和42的跟踪 望轨迹跟踪 2(a) 0.5b -1 -u -0.5 0.2 —912 -922 -92 -0.2 -0.4 02⑧ 92 —9x 0 超出状态约束限制 10 20 30 40 50 10 20 30 40 50 时间s 时间s 图6控制器(30)作用下的q1(a)和q2(b)跟踪性能 Fig.6 Tracking performance of (a)and 2(b)with the proposed controller (30) 0.6a 0.2b) 0.4A 0.2 04 -0.2 0.4 0 0.6 0.2 10 20 30 40 50 20 30 40 时间s 时间/s 图7在控制器(30)作用下的z1(a)和2(b)的收敛特性 Fig.7 Convergence of (a)and(b)with the controller (30) 为进一步表明自适应饱和控制器(20)的先进 T=-B。(Kz1+Ki1) (31) 性和有效性，基于文献[2]提出的经典比例-微分 其中K。=diag{10,20,15},K4=diag2,4,3},仿真 (PD)控制器如下所示： 效果如图9~10所示，图9(a)表示机器人能够实现
工程科学学报,第 41 卷,第 9 期 图 5 控制器(20)作用下的输出力矩 Fig. 5 Input torque with the proposed controller (20) 输入力矩受限情况,具有较好的补偿特性. 因此,本 文提出的自适应饱和控制器(20)能够有效处理系 统状态约束和输入饱和,实现对期望轨迹的跟踪. 为了说明控制器(20) 在处理状态约束与输入 饱和的有效性,自适应控制器(30)去除了障碍 Lya鄄 punov 函数相关项和辅助补偿系统状态项,其余控制 参数与控制器(20)完全相同,其仿真效果如图 6 ~ 8 所示. 图 6 表示的是控制器(30)下 q1和 q2的跟踪 性能,从图中看出,在轨迹跟踪过程中 q23明显超出 了状态约束;图 7 所示的是 z1和 z2的收敛情况,与控 制器(20)相比的误差收敛情况相比,在控制器(30) 作用下,z2误差收敛速度大幅下降,图 3( b)中 z2大 约在 0郾 2 s 即可收敛到原点邻域内,而控制器(30) 下的 z2的需要 10 s 左右,且在原点附近有小幅震荡, 其跟踪性能弱于控制器(20);值得注意的是,控制 器(30)下的 z1收敛的速度加快,但在原点附近的震 荡幅度明显大于控制器(20);图 8 表示的是控制器 (30)作用下的输入力矩,图中可知 子2 和 子3 明显超 出了输入饱和限制范围,在实际应用中,将会导致机 器人跟踪性能的退化,甚至会无法完成期望轨迹的 跟踪. 因此,从控制器(20)与控制器(30)的对比可 以看出,障碍 Lyapunov 方法避免了超出状态约束情 况的发生,且抗饱和补偿器有效处理了输入饱和问 题,最终实现了状态约束与输入饱和下的机器人期 望轨迹跟踪. 图 6 控制器(30)作用下的 q1 (a)和 q2 (b)跟踪性能 Fig. 6 Tracking performance of q1 (a) and q2 (b) with the proposed controller (30) 图 7 在控制器(30)作用下的 z1 (a)和 z2 (b)的收敛特性 Fig. 7 Convergence of z1 (a) and z2 (b) with the controller (30) 为进一步表明自适应饱和控制器(20) 的先进 性和有效性,基于文献[2] 提出的经典比例鄄鄄 微分 (PD)控制器如下所示: 子 = - B - 1 0 (Kp z1 + Kd z · 1 ) (31) 其中 Kp = diag{10,20,15},Kd = diag{2,4,3},仿真 效果如图 9 ~ 10 所示,图 9(a)表示机器人能够实现 ·1184·
郑文吴等：具有状态约束与输入饱和的全向移动机器人自适应跟踪控制 ·1185· 对期望轨迹的跟踪，且满足运动的位置与姿态约束； 图9(b)则表明机器人无法满足其运动速度的约束 要求：此外图10表示PD控制器下的输入力矩远远 超出了执行器能力：以上PD控制器的仿真结果进 一步说明了所提出的控制器(20)在处理状态约束 与输入饱和方面的有效性和先进性. 2 4结论 时间s 图8控制器(30)下的输入力矩 针对全向移动机器人轨迹跟踪过程中存在状态 Fig.8 Input torque with the controller (30) 约束和输入饱和问题，本文提出了一种自适应跟踪 2(a 0.4 -9r 0.2 —91 0 0.2 一42 -0.5 -1.0 二 10 —913 05 二如 0.5 20 30 形 50 10 20 30 50 时间/s 时间/s 图9在PD控制器(31)作用下q:(a)和g2(b)跟踪性能 Fig.9 Tracking performance of g (a)and g2(b)with the PD controller (31) mobile robots:a survey.Auton Robot,2007,22(2):101 20 [2]Watanabe K,Shiraishi Y,Tzafestas SC,et al.Feedback control of an omnidirectional autonomous platform for mobile service ro- bots.J Intell Rob Syst,1998,22(34):315 [3]Al Mamun M A,Nasir M T,Khayyat A.Embedded system for 10 motion control of an omnidirectional mobile robot.IEEE Access, 3 2018,6:6722 时间/s [4]Kalmar-Nagy T,D'Andrea R.Ganguly P.Near-optimal dynamic 图10PD控制器(31)下的输入力矩 trajectory generation and control of an omnidirectional vehicle.Ro- Fig.10 Input torque with the PD controller (31) bot Auton Syst,2004,46(1):47 控制方法，通过障碍Lyapunov函数结合反步法，解 [5]Purwin O.D'Andrea R.Trajectory generation and control for four 决了机器人运动过程中的状态受限问题，并利用自 wheeled omnidirectional vehicles.Robot Auton Syst,2006,54 (1):13 适应技术估计系统未知参数及未知有界扰动，设计 [6]Liu Y,Zhu J J,Williams II R L,et al.Omni-directional mobile 的饱和补偿器使得机器人控制力矩满足输入约束要 obot controller based on trajectory linearization.Robot Auton Syst, 求.通过仿真分析，与未采用障碍Lyapunov函数的 2008,56(5):461 自适应控制器及传统PD控制器进行了分析对比， [7]Indiveri G.Swedish wheeled omnidirectional mobile robots:kine 该方法具有更好的鲁棒性和跟踪性能.进一步的工 matics analysis and control.IEEE Trans Rob,2009,25(1):164 作是存在时变状态约束与饱和限制情况下的全向移 [Hashemi E,Jadidi M C,Jadidi N G.Model-based Pl-fuzzy con- trol of four-wheeled omni-directional mobile robots.Robot Auton 动机器人跟踪控制器设计问题，并结合非线性干扰 Ss,2011,59(11):930 观测器提升系统的动态跟踪性能 [9]Huang HC.Tsai CC.Adaptive trajectory tracking and stabiliza- tion for omnidirectional mobile robot with dynamic effect and un 参考文献 certainties.IFAC Proc Vol,2008,41(2):5383 [1]Kramer J,Scheutz M.Development environments for autonomous [10]Wang MM,Zhu Y Y,Zhang L,et al.An adaptive robust con-
郑文昊等: 具有状态约束与输入饱和的全向移动机器人自适应跟踪控制 图 8 控制器(30)下的输入力矩 Fig. 8 Input torque with the controller (30) 对期望轨迹的跟踪,且满足运动的位置与姿态约束; 图 9(b)则表明机器人无法满足其运动速度的约束 要求;此外图 10 表示 PD 控制器下的输入力矩远远 超出了执行器能力;以上 PD 控制器的仿真结果进 一步说明了所提出的控制器(20)在处理状态约束 与输入饱和方面的有效性和先进性. 4 结论 针对全向移动机器人轨迹跟踪过程中存在状态 约束和输入饱和问题,本文提出了一种自适应跟踪 图 9 在 PD 控制器(31)作用下 q1 (a)和 q2 (b)跟踪性能 Fig. 9 Tracking performance of q1 (a) and q2 (b) with the PD controller (31) 图 10 PD 控制器(31)下的输入力矩 Fig. 10 Input torque with the PD controller (31) 控制方法,通过障碍 Lyapunov 函数结合反步法,解 决了机器人运动过程中的状态受限问题,并利用自 适应技术估计系统未知参数及未知有界扰动,设计 的饱和补偿器使得机器人控制力矩满足输入约束要 求. 通过仿真分析,与未采用障碍 Lyapunov 函数的 自适应控制器及传统 PD 控制器进行了分析对比, 该方法具有更好的鲁棒性和跟踪性能. 进一步的工 作是存在时变状态约束与饱和限制情况下的全向移 动机器人跟踪控制器设计问题,并结合非线性干扰 观测器提升系统的动态跟踪性能. 参 考 文 献 [1] Kramer J, Scheutz M. Development environments for autonomous mobile robots: a survey. Auton Robot, 2007, 22(2): 101 [2] Watanabe K, Shiraishi Y, Tzafestas S G, et al. Feedback control of an omnidirectional autonomous platform for mobile service ro鄄 bots. J Intell Rob Syst, 1998, 22(3鄄4): 315 [3] Al Mamun M A, Nasir M T, Khayyat A. Embedded system for motion control of an omnidirectional mobile robot. IEEE Access, 2018, 6: 6722 [4] Kalm佗r鄄Nagy T, D蒺Andrea R, Ganguly P. Near鄄optimal dynamic trajectory generation and control of an omnidirectional vehicle. Ro鄄 bot Auton Syst, 2004, 46(1): 47 [5] Purwin O, D蒺Andrea R. Trajectory generation and control for four wheeled omnidirectional vehicles. Robot Auton Syst, 2006, 54 (1): 13 [6] Liu Y, Zhu J J, Williams II R L, et al. Omni鄄directional mobile robot controller based on trajectory linearization. Robot Auton Syst, 2008, 56(5): 461 [7] Indiveri G. Swedish wheeled omnidirectional mobile robots: kine鄄 matics analysis and control. IEEE Trans Rob, 2009, 25(1): 164 [8] Hashemi E, Jadidi M G, Jadidi N G. Model鄄based PI鄄fuzzy con鄄 trol of four鄄wheeled omni鄄directional mobile robots. Robot Auton Syst, 2011, 59(11): 930 [9] Huang H C, Tsai C C. Adaptive trajectory tracking and stabiliza鄄 tion for omnidirectional mobile robot with dynamic effect and un鄄 certainties. IFAC Proc Vol, 2008, 41(2): 5383 [10] Wang M M, Zhu Y Y, Zhang L, et al. An adaptive robust con鄄 ·1185·