多目标粒子群优化算法研究综述

工程科学学报 Chinese Journal of Engineering 多目标粒子群优化算法研究综述 冯茜李擎全威裴轩墨 Overview of multiobjective particle swarm optimization algorithm FENG Qian.LI Qing.QUAN Wei.PEI Xuan-mo 引用本文： 冯茜，李擎，全威，裴轩墨.多目标粒子群优化算法研究综述[J].工程科学学报，2021,43(6)：745-753.doi: 10.13374j.issn2095-9389.2020.10.31.001 FENG Qian,LI Qing,QUAN Wei,PEI Xuan-mo.Overview of multiobjective particle swarm optimization algorithm[J].Chinese Journal of Engineering,.2021,436:745-753.doi:10.13374f.issn2095-9389.2020.10.31.001 在线阅读View online::htps:/doi.org/10.13374.issn2095-9389.2020.10.31.001 您可能感兴趣的其他文章 Articles you may be interested in 基于自适应搜索的免疫粒子群算法 Immune particle swarm optimization algorithm based on the adaptive search strategy 工程科学学报.2017,391)：125 https::/doi.org10.13374.issn2095-9389.2017.01.016 基于粒子群算法的转炉用氧节能优化调度 Optimal scheduling of converter oxygen based on particle swarm optimization 工程科学学报.2021,43(2：279htps:doi.org/10.13374.issn2095-9389.2020.04.02.002 分布式一致性最优化的梯度算法与收敛分析 Distributed gradient-based consensus optimization algorithm and convergence analysis 工程科学学报.2020,42(4：434 https::/1doi.org/10.13374j.issn2095-9389.2019.09.05.005 确定性多变量自校正控制的稳定性、收敛性和鲁棒性 Stability,convergence,and robustness of deterministic multivariable self-tuning control 工程科学学报.2019,41(9%：1215 https:1oi.org10.13374.issn2095-9389.2019.09.014 一种改进的人工蜂群算法—粒子蜂群算法 An improved artificial bee colony algorithm:particle bee colony 工程科学学报.2018.40(7)：871 https:/doi.org10.13374.issn2095-9389.2018.07.014 固溶时效工艺对6016铝合金力学性能的影响及多目标优化 Effect of solution and aging processes on the mechanical properties of 6016 aluminum alloy and multi-objective optimization 工程科学学报.2017,39(1：75htps/doi.org/10.13374issn2095-9389.2017.01.010

多目标粒子群优化算法研究综述 冯茜 李擎 全威 裴轩墨 Overview of multiobjective particle swarm optimization algorithm FENG Qian, LI Qing, QUAN Wei, PEI Xuan-mo 引用本文: 冯茜, 李擎, 全威, 裴轩墨. 多目标粒子群优化算法研究综述[J]. 工程科学学报, 2021, 43(6): 745-753. doi: 10.13374/j.issn2095-9389.2020.10.31.001 FENG Qian, LI Qing, QUAN Wei, PEI Xuan-mo. Overview of multiobjective particle swarm optimization algorithm[J]. Chinese Journal of Engineering, 2021, 43(6): 745-753. doi: 10.13374/j.issn2095-9389.2020.10.31.001 在线阅读 View online: https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2020.10.31.001 您可能感兴趣的其他文章 Articles you may be interested in 基于自适应搜索的免疫粒子群算法 Immune particle swarm optimization algorithm based on the adaptive search strategy 工程科学学报. 2017, 39(1): 125 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2017.01.016 基于粒子群算法的转炉用氧节能优化调度 Optimal scheduling of converter oxygen based on particle swarm optimization 工程科学学报. 2021, 43(2): 279 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2020.04.02.002 分布式一致性最优化的梯度算法与收敛分析 Distributed gradient-based consensus optimization algorithm and convergence analysis 工程科学学报. 2020, 42(4): 434 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.09.05.005 确定性多变量自校正控制的稳定性、收敛性和鲁棒性 Stability, convergence, and robustness of deterministic multivariable self-tuning control 工程科学学报. 2019, 41(9): 1215 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.09.014 一种改进的人工蜂群算法——粒子蜂群算法 An improved artificial bee colony algorithm: particle bee colony 工程科学学报. 2018, 40(7): 871 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2018.07.014 固溶时效工艺对6016铝合金力学性能的影响及多目标优化 Effect of solution and aging processes on the mechanical properties of 6016 aluminum alloy and multi-objective optimization 工程科学学报. 2017, 39(1): 75 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2017.01.010

工程科学学报.第43卷，第6期：745-753.2021年6月 Chinese Journal of Engineering,Vol.43,No.6:745-753,June 2021 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2020.10.31.001;http://cje.ustb.edu.cn 多目标粒子群优化算法研究综述 冯茜2，李擎，3)区，全威》，裴轩墨) 1)北京科技大学自动化学院，北京1000832)华北理工大学机械工程学院，唐山0632103)北京科技大学工业过程知识自动化教育部重 点实验室，北京100083 ☒通信作者，E-mail:liging@ies.ustb.edu.cn 摘要针对多目标粒子群优化算法的研究进展进行综述.首先，回顾了多目标优化和粒子群算法等基本理论：其次，分析了 多目标优化所涉及的难点问题：再次，从最优粒子选择策略，多样性保持机制.收敛性提高手段，多样性与收敛性平衡方法，迭 代公式、参数、拓扑结构的改进方案5个方面综述了近年来的最新成果：最后，指出多目标粒子群算法有待进一步解决的问 题及未来的研究方向 关键词多目标优化：粒子群算法：收敛性：多样性：进化算法 分类号TP18 Overview of multiobjective particle swarm optimization algorithm FENG Qian2),LI Qing,QUAN Wei,PEI Xuan-mo 1)School of Automation and Electrical Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 2)College of Mechanical Engineering,North China University of Science and Technology,Tangshan 063210,China 3)Key Laboratory of Knowledge Automation for Industrial Processes of Ministry of Education,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China Corresponding author,E-mail:liqing@ies.ustb.edu.cn ABSTRACT In the real world,the development model of optimization problems tends to be diversified and large scale.Therefore, optimization technologies are facing severe challenges in terms of nonlinearity,multi-dimensionality,intelligence,and dynamic programming.Multiobjective optimization problems have multiple conflicting objective functions,so the unique optimal solution is impossible to obtain when optimizing,and multiple objective values must be considered to obtain a compromise optimal solution set. When traditional optimization methods treat complex multiobjective problems,such as those with nonlinearity and high dimensionality, good optimization results are difficult to ensure or even infeasible.The evolutionary algorithm is a method that simulates the natural evolution process and is optimized via group search technology.It has the characteristics of strong robustness and high search efficiency. Inspired by the foraging behavior of bird flocks in nature,the particle swarm optimization algorithm has a simple implementation,fast convergence,and unique updating mechanism.With its outstanding performance in the single-objective optimization process,particle swarm optimization has been successfully extended to multiobjective optimization,and many breakthrough research achievements have been made in combinatorial optimization and numerical optimization.Consequently,the multiobjective particle swarm algorithm has far- reaching research value in theoretical research and engineering practice.As a meta-heuristic optimization algorithm,particle swarm optimization is widely used to solve multiobjective optimization problems.This paper summarized the advanced strategies of the multiobjective particle swarm optimization algorithm.First,the basic theories of multiobjective optimization and particle swarm optimization were reviewed.Second,the difficult problems involving multiobjective optimization were analyzed.Third,the 收稿日期：2020-10-31 基金项目：国家自然科学基金资助项目(61673098)

多目标粒子群优化算法研究综述 冯    茜1,2)，李    擎1,3) 苣，全    威1)，裴轩墨1) 1) 北京科技大学自动化学院，北京 100083    2) 华北理工大学机械工程学院，唐山 063210    3) 北京科技大学工业过程知识自动化教育部重 点实验室，北京 100083 苣通信作者，E-mail：liqing@ies.ustb.edu.cn 摘    要    针对多目标粒子群优化算法的研究进展进行综述. 首先，回顾了多目标优化和粒子群算法等基本理论；其次，分析了 多目标优化所涉及的难点问题；再次，从最优粒子选择策略，多样性保持机制，收敛性提高手段，多样性与收敛性平衡方法，迭 代公式、参数、拓扑结构的改进方案 5 个方面综述了近年来的最新成果；最后，指出多目标粒子群算法有待进一步解决的问 题及未来的研究方向. 关键词    多目标优化；粒子群算法；收敛性；多样性；进化算法 分类号    TP18 Overview of multiobjective particle swarm optimization algorithm FENG Qian1,2) ，LI Qing1,3) 苣 ，QUAN Wei1) ，PEI Xuan-mo1) 1) School of Automation and Electrical Engineering, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China 2) College of Mechanical Engineering, North China University of Science and Technology, Tangshan 063210, China 3) Key Laboratory of Knowledge Automation for Industrial Processes of Ministry of Education, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China 苣 Corresponding author, E-mail: liqing@ies.ustb.edu.cn ABSTRACT    In the real world, the development model of optimization problems tends to be diversified and large scale. Therefore, optimization  technologies  are  facing  severe  challenges  in  terms  of  nonlinearity,  multi-dimensionality,  intelligence,  and  dynamic programming.  Multiobjective  optimization  problems  have  multiple  conflicting  objective  functions,  so  the  unique  optimal  solution  is impossible to obtain when optimizing, and multiple objective values must be considered to obtain a compromise optimal solution set. When traditional optimization methods treat complex multiobjective problems, such as those with nonlinearity and high dimensionality, good optimization results are difficult to ensure or even infeasible. The evolutionary algorithm is a method that simulates the natural evolution process and is optimized via group search technology. It has the characteristics of strong robustness and high search efficiency. Inspired by the foraging behavior of bird flocks in nature, the particle swarm optimization algorithm has a simple implementation, fast convergence, and unique updating mechanism. With its outstanding performance in the single-objective optimization process, particle swarm optimization has been successfully extended to multiobjective optimization, and many breakthrough research achievements have been made in combinatorial optimization and numerical optimization. Consequently, the multiobjective particle swarm algorithm has far￾reaching  research  value  in  theoretical  research  and  engineering  practice.  As  a  meta-heuristic  optimization  algorithm,  particle  swarm optimization  is  widely  used  to  solve  multiobjective  optimization  problems.  This  paper  summarized  the  advanced  strategies  of  the multiobjective  particle  swarm  optimization  algorithm.  First,  the  basic  theories  of  multiobjective  optimization  and  particle  swarm optimization  were  reviewed.  Second,  the  difficult  problems  involving  multiobjective  optimization  were  analyzed.  Third,  the 收稿日期: 2020−10−31 基金项目: 国家自然科学基金资助项目（61673098） 工程科学学报，第 43 卷，第 6 期：745−753，2021 年 6 月 Chinese Journal of Engineering, Vol. 43, No. 6: 745−753, June 2021 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2020.10.31.001; http://cje.ustb.edu.cn

.746 工程科学学报，第43卷，第6期 achievements in recent years were summarized from five aspects:optimal particle selection strategies,diversity maintenance mechanisms,convergence improvement measures,coordination methods between diversity and convergence,and improvement schemes of iterative formulas,parametric and topological structure.Finally,the problems to be solved and the future research direction of the multiobjective particle swarm optimization algorithm were presented. KEY WORDS multiobjective optimization;particle swarm optimization algorithm;convergence;diversity;evolutionary algorithm 多目标优化问题具有多个相互冲突的目标函 优化问题的解，利用群体中个体与最优个体以及 数，某一目标求得的最佳方案，不可能同时使得其 个体之间的信息交互，引导整个群体中个体在保 他目标为最优值，甚至导致退化.多目标优化川作 留自身多样性信息的同时，朝向群体最优个体收 为一类复杂的最优化问题，既被用于生产调度、城 敛，通过不断地更新逐渐找到最优解.鸟群中个体 市运输、网络通信等系统的实时设计，又涉及工程 被抽象为“粒子”，忽略其质量、体积，拓扑结构决 设计、数据挖掘、资本预算等智能规划问题，无论 定了每次迭代时“粒子”受到自身和群体状态信息 是在理论研究还是工程实践中都具有深远的意 的综合影响，即粒子的更新机制是通过种群历史 义，随着现实世界中问题所呈现的多元化、规模 最优粒子和个体历史最优粒子的有机结合得到， 化发展模式，多目标优化问题面临着非线性、多维 如图1所示.粒子i下一时刻的速度(t+1)是由当 度、智能性、动态规划等多方面的严峻挑战 前速度：()、其自身最优位置pb;①)、全局最优位置 传统的多目标优化方法主要有：加权求和法回、 gb()共同决定的，该粒子以更新后速度从当前位 约束法)、目标规划法、距离函数法以及极大 置x:)移至新的位置x(t+1).随着迭代的不断深 极小法向等.这些优化方法大多是采取不同的策 人，整个粒子群体在“引领者”的带动下，完成决策 略将多目标问题分解为单目标问题，再使用单目 空间中最优解的搜索 标算法完成优化，依赖于先验知识，受限于Pareto 前沿的形状.尤其是当多目标问题呈现出非线 性、高维度等复杂特性时，传统方法很难确保好的 x(什1) 优化效果甚至不可行 近年来，进化算法将生物信息融入元启发式 v以)F (什1) 算法之中，凭借其独特的更新机制，在组合优化和 数值优化领域☑均已取得了很多突破性研究成果 gb(1) 典型的多目标进化算法有：多目标粒子群算法⑧ 多目标蜂群算法，多目标蚁群算法o,多目标免 pb(1) 疫算法，多目标差分算法1等.粒子群算法是一 x(1) 种受到自然界中鸟类群体觅食行为的启发而发展 起来的进化算法，鉴于其实现简单、搜索高效、收 0 敛快速等优势，不仅在各类复杂的实验测试中还 图1决策空间中粒子移动示意图 Fig.I Image of particle movement in the decision space 是实际工程应用中，均得到了广泛应用 1基本粒子群算法 2多目标粒子群算法存在的问题 1995年，Kennedy和Eberhart两位博士l]共同 多目标粒子群算法凭借其高效、快速的优势 提出了粒子群优化算法(Particle swarm optimization, 成为了多目标优化的主要研究方向.处理多目标 PSO).ven den Bergh从理论角度对PSO算法的 优化问题时，既要克服传统多目标优化过程中的 稳定性和收敛性进行了分析和证明.2002年，Cello 普遍性难点，又要考虑粒子群算法用于多目标优 与Lechuga正式发表了多目标粒子群优化算法的 化时的针对性问题.归纳如下： 成果.粒子群算法求解多目标优化问题，称为多目 (1)优化过程中，如何挑选“领导”粒子，带领 标粒子群(Multiobjective particle swarm optimization, 整个种群在保留部分个体信息的前提下快速逼近 MOPSO)算法 帕累托前沿，即最优粒子选择策略； PS0算法中，将鸟群的个体位置或食物当作 (2)粒子群算法中，种群个体受到“最优”粒子

achievements  in  recent  years  were  summarized  from  five  aspects:  optimal  particle  selection  strategies,  diversity  maintenance mechanisms, convergence improvement measures, coordination methods between diversity and convergence, and improvement schemes of iterative formulas, parametric and topological structure. Finally, the problems to be solved and the future research direction of the multiobjective particle swarm optimization algorithm were presented. KEY WORDS    multiobjective optimization；particle swarm optimization algorithm；convergence；diversity；evolutionary algorithm 多目标优化问题具有多个相互冲突的目标函 数，某一目标求得的最佳方案，不可能同时使得其 他目标为最优值，甚至导致退化. 多目标优化[1] 作 为一类复杂的最优化问题，既被用于生产调度、城 市运输、网络通信等系统的实时设计，又涉及工程 设计、数据挖掘、资本预算等智能规划问题，无论 是在理论研究还是工程实践中都具有深远的意 义. 随着现实世界中问题所呈现的多元化、规模 化发展模式，多目标优化问题面临着非线性、多维 度、智能性、动态规划等多方面的严峻挑战. 传统的多目标优化方法主要有：加权求和法[2]、 约束法[3]、目标规划法[4]、距离函数法[5] 以及极大 极小法[6] 等. 这些优化方法大多是采取不同的策 略将多目标问题分解为单目标问题，再使用单目 标算法完成优化，依赖于先验知识，受限于 Pareto 前沿的形状. 尤其是当多目标问题呈现出非线 性、高维度等复杂特性时，传统方法很难确保好的 优化效果甚至不可行. 近年来，进化算法将生物信息融入元启发式 算法之中，凭借其独特的更新机制，在组合优化和 数值优化领域[7] 均已取得了很多突破性研究成果. 典型的多目标进化算法有：多目标粒子群算法[8] ， 多目标蜂群算法[9] ，多目标蚁群算法[10] ，多目标免 疫算法[11] ，多目标差分算法[12] 等. 粒子群算法是一 种受到自然界中鸟类群体觅食行为的启发而发展 起来的进化算法，鉴于其实现简单、搜索高效、收 敛快速等优势，不仅在各类复杂的实验测试中还 是实际工程应用中，均得到了广泛应用. 1    基本粒子群算法 1995 年，Kennedy 和 Eberhart 两位博士[13] 共同 提出了粒子群优化算法 (Particle swarm optimization， PSO). ven den Bergh[14] 从理论角度对 PSO 算法的 稳定性和收敛性进行了分析和证明. 2002 年，Cello 与 Lechuga[15] 正式发表了多目标粒子群优化算法的 成果. 粒子群算法求解多目标优化问题，称为多目 标粒子群（Multiobjective particle swarm optimization， MOPSO）算法. PSO 算法中，将鸟群的个体位置或食物当作 vi(t+1) vi(t) pbi(t) gb(t) xi(t) xi(t+1) 优化问题的解，利用群体中个体与最优个体以及 个体之间的信息交互，引导整个群体中个体在保 留自身多样性信息的同时，朝向群体最优个体收 敛，通过不断地更新逐渐找到最优解. 鸟群中个体 被抽象为“粒子”，忽略其质量、体积，拓扑结构决 定了每次迭代时“粒子”受到自身和群体状态信息 的综合影响，即粒子的更新机制是通过种群历史 最优粒子和个体历史最优粒子的有机结合得到， 如图 1 所示. 粒子 i 下一时刻的速度 是由当 前速度 、其自身最优位置 、全局最优位置 共同决定的，该粒子以更新后速度从当前位 置 移至新的位置 . 随着迭代的不断深 入，整个粒子群体在“引领者”的带动下，完成决策 空间中最优解的搜索. O X Y vi (t) vi (t+1) xi (t+1) gb(t) pbi (t) xi (t) 图 1    决策空间中粒子移动示意图 Fig.1    Image of particle movement in the decision space 2    多目标粒子群算法存在的问题 多目标粒子群算法凭借其高效、快速的优势， 成为了多目标优化的主要研究方向. 处理多目标 优化问题时，既要克服传统多目标优化过程中的 普遍性难点，又要考虑粒子群算法用于多目标优 化时的针对性问题. 归纳如下： （1）优化过程中，如何挑选“领导”粒子，带领 整个种群在保留部分个体信息的前提下快速逼近 帕累托前沿，即最优粒子选择策略； （2）粒子群算法中，种群个体受到“最优”粒子 · 746 · 工程科学学报，第 43 卷，第 6 期

冯茜等：多目标粒子群优化算法研究综述 747… 的影响，由于收敛过快而导致“早熟”，如何引导粒 粒子的选择.比较典型的评价指标有：超体积指 子“跳出”局部最优，即多样性保持机制； 标2o,R2指标.Wu等2四基于虚拟帕累托前沿对 (3)外部存储集中非支配解的数量的急剧增 粒子进行评估.Li等2]基于R2指标进行外部存 加，如何引导种群在保障多样性的前提下，进一步 储的维护以及最优粒子的选择 提高搜索效率，以强化算法在收敛速度方面的优 基于Pareto排序的方法也是一类较为常用的 势，即收敛性提高手段； 优化方法.小生境方法4是一种行之有效的多目 (4)如何在优化过程的不同阶段，动态协调整 标优化方法.Qu等2将物种形成策略融入粒 体开发和局部搜索之间的关系，以获得最佳优化 子群优化算法，所提出物种形成机制根据邻域结 结果，即多样性和收敛性的平衡方法： 构生成多个小生境，采用并行方式搜索帕累托最 (5)为了提升算法性能而进行的迭代公式的改 优解.自组织策略能够在加速小生境形成的同时 进、重要参数的动态整定以及粒子间信息交互方式 避免子群之间的交叉.仿真实验结果表明，该算法 的调整，即迭代公式、参数、拓扑结构的改进方案. 能够保持决策空间和目标空间中解的多样性，使 下面将从以上5个方面对近年来多目标粒子 得解分布更加均匀.文献[27刀基于密度聚类的思 群优化算法的改进措施进行较为详细的介绍 想进行领导粒子选择.文献[28]将代理辅助策略 与标准粒子群算法以及社会学习粒子群算法相结 3多目标粒子群算法改进措施 合，利用改进的帕累托存档学习方法来提高外部 3.1最优粒子选择策略 存储集当中候选解的质量，辅助最优粒子的选择， 采用粒子群算法进行优化时，每次迭代都需 从而加速收敛.文献29]将代理辅助策略融入帕 要进行全局最优粒子(Global best particle,gbest)和 累托主动学习方法，以粒子群算法为数据知识库 个体最优粒子(Personal best particle,pbest)的选择 生成机制，构建虚拟空间中的代理模型代替适应 gbest作为整个种群的核心“领导者”，对整个优化 度函数，根据改进的帕累托主动学习策略预先将 过程的收敛速度、搜索效率以及“最优”结果会产 粒子分类.该方法基于解的预判断辅助优化，有利 生极大的影响；而每个粒子到目前为止自身的“最 于节约计算成本，提高效率 优”状态，对避免陷入局部最优，保持种群多样性 一些研究人员采用两种方式相结合的策略， 并获得最好的优化结果起到重要作用.因此，合理 共同进行最优粒子的选择.Lu等0融合了R2指标 和有效的“最优”粒子选择机制具有重要意义.单 与分解的思想，Li等☑提出将基于R2指标B和 目标优化时，“最优”个体是唯一的，而多目标优化 L2范数的分层R2排序算法和有利权重的切比雪 时，每次更新都可能产生“当前”最优解集，存储于 夫聚集值相结合的外部档案更新策略.李飞等 外部存储集中.随着优化进程的不断深入，最优解 以2指标和目标空间分解两种策略为衡量标准 集的数量会急剧增加，这将会导致巨大的选择压 提出双层档案维护策略.文献[33]基于解分布指 力，而这一困难在处理高维度优化问题时会显得 标和超体积指标，将多目标优化问题转化为二目 愈发突出 标问题，设计了将解集和解集中的解分层处理的 为了能够高效带领种群收敛到真正的帕累托 粒子群算子.实验结果表明，该方法能够获得良好 最优前沿又不失多样性，有些学者基于分解思想 的分布性和收敛性.Moubayed等B将分解与支配 设计最优粒子选择策略.Zhu等6设计了一种基 关系相结合，根据偏好进行排序，用分解方式将多 于外部存储集引导的择优策略，分配粒子对分解 目标问题转化为聚合问题，利用非支配关系进行 产生的子问题进行优化，有效提高了收敛速度 外部存储集中最优粒子的选择 Li等7提出基于增强选择策略的更新机制.通过 有些文献通过改进排序方法来提高精英库中 切比雪夫聚集函数值、有利权重的切比雪夫值和 备选粒子的质量.Li等B提出了一种将综合排序 随机选择三种方式，自适应切换聚集函数值，加强 策略与目标空间中基于切比雪夫距离的粒子密度 局部搜索.AIi与Khan!8提出了基于综合学习策 信息相结合的最优粒子选择机制.Tang等B将非 略的方法.Cheng等l基于动态加权聚合函数进 支配解存储后，将精英保留与循环排序方法相结 行最优粒子的动态选择 合，以获得高质量的帕累托前沿 有些方法不是以适应度函数为粒子优先权的 3.2多样性保持机制 评估机制，而是基于指标衡量解的价值，进行最优 粒子群算法在追求收敛速度快、搜索效率高

的影响，由于收敛过快而导致“早熟”，如何引导粒 子“跳出”局部最优，即多样性保持机制； （3）外部存储集中非支配解的数量的急剧增 加，如何引导种群在保障多样性的前提下，进一步 提高搜索效率，以强化算法在收敛速度方面的优 势，即收敛性提高手段； （4）如何在优化过程的不同阶段，动态协调整 体开发和局部搜索之间的关系，以获得最佳优化 结果，即多样性和收敛性的平衡方法； （5）为了提升算法性能而进行的迭代公式的改 进、重要参数的动态整定以及粒子间信息交互方式 的调整，即迭代公式、参数、拓扑结构的改进方案. 下面将从以上 5 个方面对近年来多目标粒子 群优化算法的改进措施进行较为详细的介绍. 3    多目标粒子群算法改进措施 3.1    最优粒子选择策略 采用粒子群算法进行优化时，每次迭代都需 要进行全局最优粒子（Global best particle, gbest）和 个体最优粒子（Personal best particle, pbest）的选择. gbest 作为整个种群的核心“领导者”，对整个优化 过程的收敛速度、搜索效率以及“最优”结果会产 生极大的影响；而每个粒子到目前为止自身的“最 优”状态，对避免陷入局部最优，保持种群多样性 并获得最好的优化结果起到重要作用. 因此，合理 和有效的“最优”粒子选择机制具有重要意义. 单 目标优化时，“最优”个体是唯一的，而多目标优化 时，每次更新都可能产生“当前”最优解集，存储于 外部存储集中. 随着优化进程的不断深入，最优解 集的数量会急剧增加，这将会导致巨大的选择压 力，而这一困难在处理高维度优化问题时会显得 愈发突出. 为了能够高效带领种群收敛到真正的帕累托 最优前沿又不失多样性，有些学者基于分解思想 设计最优粒子选择策略. Zhu 等[16] 设计了一种基 于外部存储集引导的择优策略，分配粒子对分解 产生的子问题进行优化，有效提高了收敛速度. Li 等[17] 提出基于增强选择策略的更新机制. 通过 切比雪夫聚集函数值、有利权重的切比雪夫值和 随机选择三种方式，自适应切换聚集函数值，加强 局部搜索. Ali 与 Khan[18] 提出了基于综合学习策 略的方法. Cheng 等[19] 基于动态加权聚合函数进 行最优粒子的动态选择. 有些方法不是以适应度函数为粒子优先权的 评估机制，而是基于指标衡量解的价值，进行最优 粒子的选择. 比较典型的评价指标有：超体积指 标[20] ，R2 指标[21] . Wu 等[22] 基于虚拟帕累托前沿对 粒子进行评估. Li 等[23] 基于 R2 指标进行外部存 储的维护以及最优粒子的选择. 基于 Pareto 排序的方法也是一类较为常用的 优化方法. 小生境方法[24] 是一种行之有效的多目 标优化方法. Qu 等[25] 将物种形成策略[26] 融入粒 子群优化算法，所提出物种形成机制根据邻域结 构生成多个小生境，采用并行方式搜索帕累托最 优解. 自组织策略能够在加速小生境形成的同时 避免子群之间的交叉. 仿真实验结果表明，该算法 能够保持决策空间和目标空间中解的多样性，使 得解分布更加均匀. 文献 [27] 基于密度聚类的思 想进行领导粒子选择. 文献 [28] 将代理辅助策略 与标准粒子群算法以及社会学习粒子群算法相结 合，利用改进的帕累托存档学习方法来提高外部 存储集当中候选解的质量，辅助最优粒子的选择， 从而加速收敛. 文献 [29] 将代理辅助策略融入帕 累托主动学习方法，以粒子群算法为数据知识库 生成机制，构建虚拟空间中的代理模型代替适应 度函数，根据改进的帕累托主动学习策略预先将 粒子分类. 该方法基于解的预判断辅助优化，有利 于节约计算成本，提高效率. 一些研究人员采用两种方式相结合的策略， 共同进行最优粒子的选择. Liu 等[30] 融合了 R2 指标 与分解的思想，Li 等[17] 提出将基于 R2 指标[31] 和 L2 范数的分层 R2 排序算法和有利权重的切比雪 夫聚集值相结合的外部档案更新策略. 李飞等[32] 以 R2 指标和目标空间分解两种策略为衡量标准 提出双层档案维护策略. 文献 [33] 基于解分布指 标和超体积指标，将多目标优化问题转化为二目 标问题，设计了将解集和解集中的解分层处理的 粒子群算子. 实验结果表明，该方法能够获得良好 的分布性和收敛性. Moubayed 等[34] 将分解与支配 关系相结合，根据偏好进行排序，用分解方式将多 目标问题转化为聚合问题，利用非支配关系进行 外部存储集中最优粒子的选择. 有些文献通过改进排序方法来提高精英库中 备选粒子的质量. Li 等[35] 提出了一种将综合排序 策略与目标空间中基于切比雪夫距离的粒子密度 信息相结合的最优粒子选择机制. Tang 等[36] 将非 支配解存储后，将精英保留与循环排序方法相结 合，以获得高质量的帕累托前沿. 3.2    多样性保持机制 粒子群算法在追求收敛速度快、搜索效率高 冯    茜等： 多目标粒子群优化算法研究综述 · 747 ·

748 工程科学学报，第43卷，第6期 的同时，往往会以多样性的缺失为代价，而影响最 个保证种群多样性的解 终的优化结果.因此，研究人员从多个角度提出保 Albaity等9将量子理论与粒子群算法的结 持种群多样性的策略，并取得了显著的效果 合，以便帮助粒子产生全局最佳位置，提高种群多 些文献使用空间划分策略来保持多样性 样性的同时，还保证了粒子群算法的全局收敛效 这类方法主要是将目标空间分割为多个区域，根 果.Liu等5o将文化理论算法与量子行为粒子群 据个体在分割区域的分布情况，一边引导种群中 优化算法相融合，多次从信念空间知识中提取种 的其它个体向某一区域“靠拢”，以加速收敛；一边 群个体的测量信息，并根据历史知识设计了一种 保留其它区域的个体“特征”，以获得分布均匀、 局部搜索算子，利于保持种群多样性.Pan等su基 覆盖率广的Pareto前沿.比较有代表性的方法主 于速度的决策变量分析方法提出多样性增强策 要有：网格划分法B刃和角度划分法图本团队提出 略，有效提高了优化过程中种群多样性 了一种自适应角度划分法，结合非支配解在角 Li等四采用全局边缘排序策略，同时结合种 度区域中的动态分布，加强“低密度”区域或“无分 群粒子在目标空间中的个体密度信息，有利于多 布”区域相邻区域的探索，同时删除“高密度”区域 样性的维护.Cheng等Is提出基于混合教学的循 多余粒子；同步实现gbest和pbest的选择，有利于 环拥挤排序方法，周期性调用教学阶段和学习阶 保持种群多样性 段算法，利用种群中心值提高种群的整体搜索性 还有一些文献是基于种群划分的思想.这类 能，同时加强粒子之间的信息交互，获得良好的收 方法是将整个种群划分为多个子群，子群根据各 敛性的同时保持多样性 自的引领者并行引导种群更新，共享外部存储集 喻金平等54基于博弈机制，通过精英粒子之 信息.Zhan等B9将整个种群划分为相等规模的子 间的博弈，确定最优粒子.最优粒子从精英粒子中 群，每个子群体只针对一个目标进行优化，并根据 随机选择，有利于保持多样性，而外部存储集的省 目标确定每个子群的适应度，各子群间会以外部 略，有助于提升收敛速度.Zhang等s提出基于竞 存储集为平台，共享各子群间信息，同时将精英学 争机制的学习策略.首先，根据经典的非支配排序 习机制融入外部存储集以增强多样性.然而，通过 和拥挤距离筛选精英粒子.其次，基于成对竞争策 研究发现0，这种策略有可能会导致选择压力的 略的更新机制，精英粒子中竞争成功的粒子为当 增加，并且增加时耗.Yang等将整个种群动态 前种群中粒子引导更新方向.最后，粒子通过向竞 划分为主群和多个子群，每个子群拥有各自的非 争赢家学习，更新位置和速度.该算法不再使用广 支配解、子群拥挤距离以及指定目标，各子群为并 泛应用的外部档案存储和更新策略，取而代之的 行搜索，通过非支配排序和归一化结合机制选择 是基于精英粒子竞争以及学习策略的更新机制 出最优粒子.Luo等将种群划分为子群并建立 另外，变异操作是进化算法中多样性保持或 各子群的概率模型，分别使用粒子群算法和分布 增加的重要方式.单目标优化中比较经典的变异 估计算法对概率模型进行更新，在解决复杂的多 策略，经过改进后用于进行多目标优化，如：快速 目标问题时表现出良好的能力.Yao等采用竞 下降法5阿、精英学习策略57、柯西变异58等，取得 争与合作技术促进子种群间的协同进化，有利于 了良好的效果.Liu等B0采用多项式变异进行外 获得多样性良好以及分布均匀的Pareto前沿.Zhang 部档案中多样性维护，此外，当粒子个数未能满足 等提出在决策空间中基于欧氏距离进行种群划 所设定的更新条件时，应用高斯变异策略对种群 分的聚类策略，有利于种群多样性的保持.Liang 个体的位置以及速度进行重新初始化.张伟与黄 等啊将自组织机制引入决策空间中进行多峰多目 卫民阿根据收敛性能指标将种群进行区域划分， 标优化，将相似解置于邻域中，并从构建邻域中选 分别采取不同的变异策略.Yù等2]使用混合变异 择相应的领导者，以保证更好的种群多样性 采样策略增强解的多样性，提高了搜索效率 基于分解的优化方法有利于维护良好的种群 杨景明等6根据不同阶段对收敛性的不同要 多样性.文献[46]采用基于分区的分解策略求得 求，应用多项式变异策略，以相邻两次迭代的最优 分布均匀的解.Dai等7从分解角度进行解的多 解集得到的世代距离为自适应变异规模调整机 样性维护，将目标空间分解为子区域，并采用相应 制，分阶段进行变异操作.韩敏与何泳6设计了 的多样性保持策略.Qi等1基于分解方法在目标 一种高斯混沌变异策略，根据粒子个体与gbest间 空间中自适应调整权值，使得每个子区域都有一 的距离自适应调整高斯变异幅度，引入Logistic混

的同时，往往会以多样性的缺失为代价，而影响最 终的优化结果. 因此，研究人员从多个角度提出保 持种群多样性的策略，并取得了显著的效果. 一些文献使用空间划分策略来保持多样性. 这类方法主要是将目标空间分割为多个区域，根 据个体在分割区域的分布情况，一边引导种群中 的其它个体向某一区域“靠拢”，以加速收敛；一边 保留其它区域的个体“特征”，以获得分布均匀、 覆盖率广的 Pareto 前沿. 比较有代表性的方法主 要有：网格划分法[37] 和角度划分法[8] . 本团队提出 了一种自适应角度划分法[38] ，结合非支配解在角 度区域中的动态分布，加强“低密度”区域或“无分 布”区域相邻区域的探索，同时删除“高密度”区域 多余粒子；同步实现 gbest 和 pbest 的选择，有利于 保持种群多样性. 还有一些文献是基于种群划分的思想. 这类 方法是将整个种群划分为多个子群，子群根据各 自的引领者并行引导种群更新，共享外部存储集 信息. Zhan 等[39] 将整个种群划分为相等规模的子 群，每个子群体只针对一个目标进行优化，并根据 目标确定每个子群的适应度，各子群间会以外部 存储集为平台，共享各子群间信息，同时将精英学 习机制融入外部存储集以增强多样性. 然而，通过 研究发现[40] ，这种策略有可能会导致选择压力的 增加，并且增加时耗. Yang 等[41] 将整个种群动态 划分为主群和多个子群，每个子群拥有各自的非 支配解、子群拥挤距离以及指定目标，各子群为并 行搜索，通过非支配排序和归一化结合机制选择 出最优粒子. Luo 等[42] 将种群划分为子群并建立 各子群的概率模型，分别使用粒子群算法和分布 估计算法对概率模型进行更新，在解决复杂的多 目标问题时表现出良好的能力. Yao 等[43] 采用竞 争与合作技术促进子种群间的协同进化，有利于 获得多样性良好以及分布均匀的 Pareto 前沿. Zhang 等[44] 提出在决策空间中基于欧氏距离进行种群划 分的聚类策略，有利于种群多样性的保持. Liang 等[45] 将自组织机制引入决策空间中进行多峰多目 标优化，将相似解置于邻域中，并从构建邻域中选 择相应的领导者，以保证更好的种群多样性. 基于分解的优化方法有利于维护良好的种群 多样性. 文献 [46] 采用基于分区的分解策略求得 分布均匀的解. Dai 等[47] 从分解角度进行解的多 样性维护，将目标空间分解为子区域，并采用相应 的多样性保持策略. Qi 等[48] 基于分解方法在目标 空间中自适应调整权值，使得每个子区域都有一 个保证种群多样性的解. Albaity 等[49] 将量子理论与粒子群算法的结 合，以便帮助粒子产生全局最佳位置，提高种群多 样性的同时，还保证了粒子群算法的全局收敛效 果. Liu 等[50] 将文化理论算法与量子行为粒子群 优化算法相融合，多次从信念空间知识中提取种 群个体的测量信息，并根据历史知识设计了一种 局部搜索算子，利于保持种群多样性. Pan 等[51] 基 于速度的决策变量分析方法提出多样性增强策 略，有效提高了优化过程中种群多样性. Li 等[52] 采用全局边缘排序策略，同时结合种 群粒子在目标空间中的个体密度信息，有利于多 样性的维护. Cheng 等[53] 提出基于混合教学的循 环拥挤排序方法，周期性调用教学阶段和学习阶 段算法，利用种群中心值提高种群的整体搜索性 能，同时加强粒子之间的信息交互，获得良好的收 敛性的同时保持多样性. 喻金平等[54] 基于博弈机制，通过精英粒子之 间的博弈，确定最优粒子. 最优粒子从精英粒子中 随机选择，有利于保持多样性，而外部存储集的省 略，有助于提升收敛速度. Zhang 等[55] 提出基于竞 争机制的学习策略. 首先，根据经典的非支配排序 和拥挤距离筛选精英粒子. 其次，基于成对竞争策 略的更新机制，精英粒子中竞争成功的粒子为当 前种群中粒子引导更新方向. 最后，粒子通过向竞 争赢家学习，更新位置和速度. 该算法不再使用广 泛应用的外部档案存储和更新策略，取而代之的 是基于精英粒子竞争以及学习策略的更新机制. 另外，变异操作是进化算法中多样性保持或 增加的重要方式. 单目标优化中比较经典的变异 策略，经过改进后用于进行多目标优化，如：快速 下降法[56]、精英学习策略[57]、柯西变异[58] 等，取得 了良好的效果. Liu 等[30] 采用多项式变异进行外 部档案中多样性维护，此外，当粒子个数未能满足 所设定的更新条件时，应用高斯变异策略对种群 个体的位置以及速度进行重新初始化. 张伟与黄 卫民[59] 根据收敛性能指标将种群进行区域划分， 分别采取不同的变异策略. Yu 等[28] 使用混合变异 采样策略增强解的多样性，提高了搜索效率. 杨景明等[60] 根据不同阶段对收敛性的不同要 求，应用多项式变异策略，以相邻两次迭代的最优 解集得到的世代距离为自适应变异规模调整机 制，分阶段进行变异操作. 韩敏与何泳[61] 设计了 一种高斯混沌变异策略，根据粒子个体与 gbest 间 的距离自适应调整高斯变异幅度，引入 Logistic 混 · 748 · 工程科学学报，第 43 卷，第 6 期

冯茜等：多目标粒子群优化算法研究综述 .749 沌映射值，增加遍历性.为了提高多样性，Moslemi 数动态平衡多样性与收敛性之间的关系.合理的 与Zandieh!引入变异算子来保持群体的多样性， 最优粒子选择机制可以协调整个搜索过程中收敛 并且将网格与拥挤距离相结合进行全局最优粒子 性和多样性的关系.优化过程中，为了能够确保快 的选择.多尺度混沌变异策略5网被用来帮助算法 速收敛的同时多样性得以维护，Hu与Yen基于 “跳出”局部最优.王学武等1基于三种变异算子 非支配解的分布嫡进行环境估计，采用新颖的自 设计变异策略，并根据随机数的值进行选择，以增 适应动态方式，将最优粒子选择、外部存储集维 强所得解的多样性 护、参数调节以及扰动等环节均融于平行单元坐 3.3收敛性的提高手段 标系中 虽然粒子群算法进行单目标优化时，在收敛 设定参考点有利于减轻选择压力)，Wu等网 性能方面具有显著优势，但是用于多目标优化时， 以预定义的参考点为主要标准，以相邻粒子间欧 由于目标数目和维度的增加，会导致解的数量急 几里德距离为附加选择标准，提高算法性能.还使 剧增多，为了能够既不失多样性，又快速获得最优 用估计策略识别进化状态，动态调整最优选择机 解集，需要提高算法的收敛性能，有利于提高算法 制，加强开发阶段的收敛速度，维护探索阶段的多 效率 样性，通过平衡开发和探索之间关系的方式达到 为了加速收敛，Peng等6设计了一种跟随非线 动态协调收敛性和多样性的目的.Figueiredo等阿 性惯性权重系数变化的动态学习因子，Li等6采 采用搜索过程中的目标空间超平面上的动态参考 用岛屿模型将整个种群进行划分，生成的子群以 点以及聚集方法，促进多目标优化过程中收敛性 并行运行方式提高算法的收敛速度.Xu等6%以间 和多样性之间的平衡关系 隔迭代方式将多目标二分法线性搜索方法融入 此外，为了协调快速开发和深入探索之间的关 MOPSO算法，加强了局部搜索能力，以促进种群 系，Lin等提出多搜索策略多目标粒子群算法， 向真实帕累托前沿的收敛.Cheng等Is7基于局部 将收敛性和多样性作为两个不同目标，基于预设阈 最优粒子策略引导种群快速向帕累托最优前沿 值分别采用不同的粒子速度更新策略.Hu等m提 逼近 出偏重收敛性和多样性的两阶段策略，第一阶段 聚类策略的引入，有利于提高种群的搜索速 基于聚合原理，第二阶段基于平行单元坐标系理 度.于慧等61基于动态聚类思想划分种群，提高 论，以便在不同阶段针对性提高算法的收敛性和 收敛速度的同时减少了种群多样性损失.Lu等69 多样性.受到鸟类觅食时线性和圆形行为的启发， 将种群划分后，通过子群间共享信息的协同进化 Meza等81基于粒子群体的旋转和平移运动方式 方式提高收敛速度，以应对实际应用时环境变化 提出涡旋多目标粒子群优化算法.线性运动帮助 快速的动态优化问题.Han等o采用多目标梯度 种群收敛，而圆形运动有助于个体分散搜索；参数 方法，通过计算每个粒子全部单位方向的加权和 选择基于粒子的动态行为，兼顾了收敛性和多样 确定多梯度下降方向，以加速收敛 性.Pan等网采用增量嫡方法设计自适应因子，调 3.4多样性和收敛性的平衡方法 节收敛性和多样性之间的动态平衡关系，基于离 通常情况下，我们希望在全局开发阶段，重视 散解耦策略分解目标，构建子群，通过协同进化实 多样性的同时加速收敛，以提高搜索效率：另一方 现多目标优化.还有一些文献基于分解思想来权 面，在局部搜索阶段，加强收敛性能的同时能够减 衡开发和探索之间的关系.Liu等I0将瓶颈目标 少多样性损失，以避免算法过早收敛.无论哪一阶 学习策略融入分解机制，Moubayed等B将Pareto 段，都应对收敛性和多样性两个性能指标进行兼 支配与分解两种优化策略进行融合，用于权衡收 顾，以确保高效、精准的优化结果 敛性和多样性 研究人员提出了多种策略对优化过程进行状 3.5迭代公式、参数、拓扑结构的改进方案 态评估，自适应调整收敛性和多样性的权重，从而 为了提高粒子群算法的性能，一些文献还提 达到动态协调两个性能指标的目的.平衡适应度 出从迭代公式、参数整定以及拓扑结构等方面进 估计策略四能够帮助实现外部存储集中非支配解 行改进 的选择，并在外部档案上进一步运行进化搜索，加 迭代公式改进方面，Lin等增加粒子个体朝 强了精英个体之间信息交换.该策略由收敛性距 向全局最佳粒子的引领搜索项，使得粒子在搜索 离和多样性距离两部分构成，根据二者的权重系 过程中有可能获得更多扰动.Yao等增加了子

沌映射值，增加遍历性. 为了提高多样性，Moslemi 与 Zandieh [62] 引入变异算子来保持群体的多样性， 并且将网格与拥挤距离相结合进行全局最优粒子 的选择. 多尺度混沌变异策略[58] 被用来帮助算法 “跳出”局部最优. 王学武等[63] 基于三种变异算子 设计变异策略，并根据随机数的值进行选择，以增 强所得解的多样性. 3.3    收敛性的提高手段 虽然粒子群算法进行单目标优化时，在收敛 性能方面具有显著优势，但是用于多目标优化时， 由于目标数目和维度的增加，会导致解的数量急 剧增多，为了能够既不失多样性，又快速获得最优 解集，需要提高算法的收敛性能，有利于提高算法 效率. 为了加速收敛，Peng 等[64] 设计了一种跟随非线 性惯性权重系数变化的动态学习因子. Li 等[65] 采 用岛屿模型将整个种群进行划分，生成的子群以 并行运行方式提高算法的收敛速度. Xu 等[66] 以间 隔迭代方式将多目标二分法线性搜索方法融入 MOPSO 算法，加强了局部搜索能力，以促进种群 向真实帕累托前沿的收敛. Cheng 等[67] 基于局部 最优粒子策略引导种群快速向帕累托最优前沿 逼近. 聚类策略的引入，有利于提高种群的搜索速 度. 于慧等[68] 基于动态聚类思想划分种群，提高 收敛速度的同时减少了种群多样性损失. Liu 等[69] 将种群划分后，通过子群间共享信息的协同进化 方式提高收敛速度，以应对实际应用时环境变化 快速的动态优化问题. Han 等[70] 采用多目标梯度 方法，通过计算每个粒子全部单位方向的加权和 确定多梯度下降方向，以加速收敛. 3.4    多样性和收敛性的平衡方法 通常情况下，我们希望在全局开发阶段，重视 多样性的同时加速收敛，以提高搜索效率；另一方 面，在局部搜索阶段，加强收敛性能的同时能够减 少多样性损失，以避免算法过早收敛. 无论哪一阶 段，都应对收敛性和多样性两个性能指标进行兼 顾，以确保高效、精准的优化结果. 研究人员提出了多种策略对优化过程进行状 态评估，自适应调整收敛性和多样性的权重，从而 达到动态协调两个性能指标的目的. 平衡适应度 估计策略[71] 能够帮助实现外部存储集中非支配解 的选择，并在外部档案上进一步运行进化搜索，加 强了精英个体之间信息交换. 该策略由收敛性距 离和多样性距离两部分构成，根据二者的权重系 数动态平衡多样性与收敛性之间的关系. 合理的 最优粒子选择机制可以协调整个搜索过程中收敛 性和多样性的关系. 优化过程中，为了能够确保快 速收敛的同时多样性得以维护，Hu 与 Yen [72] 基于 非支配解的分布熵进行环境估计，采用新颖的自 适应动态方式，将最优粒子选择、外部存储集维 护、参数调节以及扰动等环节均融于平行单元坐 标系中. 设定参考点有利于减轻选择压力[73] ，Wu 等[74] 以预定义的参考点为主要标准，以相邻粒子间欧 几里德距离为附加选择标准，提高算法性能. 还使 用估计策略识别进化状态，动态调整最优选择机 制，加强开发阶段的收敛速度，维护探索阶段的多 样性，通过平衡开发和探索之间关系的方式达到 动态协调收敛性和多样性的目的. Figueiredo 等[75] 采用搜索过程中的目标空间超平面上的动态参考 点以及聚集方法，促进多目标优化过程中收敛性 和多样性之间的平衡关系. 此外，为了协调快速开发和深入探索之间的关 系，Lin 等[76] 提出多搜索策略多目标粒子群算法， 将收敛性和多样性作为两个不同目标，基于预设阈 值分别采用不同的粒子速度更新策略. Hu 等[77] 提 出偏重收敛性和多样性的两阶段策略，第一阶段 基于聚合原理，第二阶段基于平行单元坐标系理 论，以便在不同阶段针对性提高算法的收敛性和 多样性. 受到鸟类觅食时线性和圆形行为的启发， Meza 等[78] 基于粒子群体的旋转和平移运动方式 提出涡旋多目标粒子群优化算法. 线性运动帮助 种群收敛，而圆形运动有助于个体分散搜索；参数 选择基于粒子的动态行为，兼顾了收敛性和多样 性. Pan 等[79] 采用增量熵方法设计自适应因子，调 节收敛性和多样性之间的动态平衡关系，基于离 散解耦策略分解目标，构建子群，通过协同进化实 现多目标优化. 还有一些文献基于分解思想来权 衡开发和探索之间的关系. Liu 等[80] 将瓶颈目标 学习策略融入分解机制，Moubayed 等[34] 将 Pareto 支配与分解两种优化策略进行融合，用于权衡收 敛性和多样性. 3.5    迭代公式、参数、拓扑结构的改进方案 为了提高粒子群算法的性能，一些文献还提 出从迭代公式、参数整定以及拓扑结构等方面进 行改进. 迭代公式改进方面，Lin 等[71] 增加粒子个体朝 向全局最佳粒子的引领搜索项，使得粒子在搜索 过程中有可能获得更多扰动. Yao 等[43] 增加了子 冯    茜等： 多目标粒子群优化算法研究综述 · 749 ·

750 工程科学学报，第43卷.第6期 群最优粒子的信息，同时还融入了相邻粒子信息 广，由于相关数学理论不够完备，与算法相关的收 Pan等提出了将认知学习部分删除，能够保证 敛性、稳定性、参数鲁棒性以及计算复杂度等研 算法的收敛以及有效学习. 究有待深入开展： 进化算法进行优化时，通常需要针对问题选 (2)动态环境评估机制的完善.更新过程中， 择和调整算法s]参数校正方面，Han等提出了 个体当前状态的反馈信息都将作为下次迭代如何 一种自适应飞行参数调节机制，利用多样性信息 实施的重要因素，这就要求能够客观、准确地对环 和种群速度信息，对全局探索和局部开发之间的 境状态进行估计，而单一的评价指标难以全面衡 关系进行平衡.该算法的新颖之处就在于能够结 量环境情况.因此，多指标融合的动态环境评价策 合解分布嫡同步完成飞行参数的调节以及全局最 略尚需进一步改进； 优粒子的选择.夏立荣等⑧引基于层次分析方法，设 (3)种群个体自学习、自组织能力的提高.作 计出一种进化因子，通过度量进化状态自适应调节 为一类元启发式算法，随机性有利于多样性却不 参数.Liu等s应用强化学习理论中的Q-Learning 利于收敛，而高速的收敛又容易导致早熟，难以保 方法，以目标空间中Pareto前沿的粒子数量、决策 证稳定的优化结果.为了削弱算法中不确定因素 空间中粒子间距为状态，以粒子群算法中3个主 的影响，获得高效、准确的优化效果，往往会对种 要参数一惯性权重系数和两个认知加速度系数 群中个体加以引导，而引导策略大多是人为规定 为动作，建立三维Q表，自适应调整算法参数 且基于主观偏好，缺乏客观性和有效性，因此，基 Hu等⑧通过改变参数来提高算法的鲁棒性，虽然 于机器学习、深度学习、强化学习等先进理论的 可以防止算法陷入局部最优，收敛精度也有所提 种群个体自学习、自组织能力的算法亟需进一步 高，但大量“新”变量的引入有可能会增加计算复 探究； 杂度86Dig等s7应用田口方法作为响应值来调 (4)自适应方法的拓展.优化过程中不同阶段 整参数.Tang等以保证收敛性能为参数选择原 对探索能力和挖掘能力的需求有所不同，不同多 则，以开发和挖掘的不同偏好为目标设计了自适 目标优化算法在收敛速度和多样性能方面的表现 应参数调节机制，并且讨论了参数对收敛性能的 也各有利弊.单一策略或固定模式的算法融合很 影响 难适用于所有优化问题.因此，为了促进算法对优 拓扑结构方面，Yue等提出的基于环形拓 化问题的适应性，基于进程估计和策略选择的自 扑和特殊拥挤距离的多目标粒子群优化算法，在 适应调整机制仍需不断优化 决策空间中，引入无需参数的环形拓扑结构帮助 形成稳定的小生境，有利于减少多样性损失.高海 参考文献 军与潘大志网采用星型拓扑结构，在收敛速度方 [1]He X M,Dong S H.Research on rush order insertion rescheduling 面表现出一定的优势.Zhang等对划分的子种 problem under hybrid flow shop with multi-objective and multi 群采用环形拓扑结构，有利于信息交互和保持多 constraint.ChinJEng,2019,41(11):1450 样性 (何小妹，董绍华.多目标多约束混合流水车间插单重调度问题 研究.工程科学学报，2019,41(11)：1450) 4总结与展望 [2] Zadeh LA.Optimality and non-scalar-valued performance criteria. IEEE Trans Autom Control,1963,8(1):59 本文主要就多目标粒子群算法中最优粒子选 [3] Haimes YY,Lasdon L S,Wismer D A.On a bicriterion 择，多样性保持，收敛性提高，多样性与收敛性之 formulation of the problems of integrated system identification and 间的平衡，以及迭代公式、参数、拓扑结构等改进 system optimization.IEEE Trans Syst Man Cybern,1971,SMC. 措施进行了系统分析.近几年来，算法自身性能得 1(3):296 以提升，应用领域不断拓展，涌现出大量行之有 [4]Charnes A,Cooper WW,Ferguson R O.Optimal estimation of 效、独特新颖的先进成果.然而，随着信息科学和 executive compensation by linear programming.Manage Sci, 1955,1(2):138 计算技术的高速发展，多目标粒子群算法在优化 [5]Xuan G N,Cheng R W.Genetic Algorithm and Engineering 效果上仍具有一定的提升空间.今后的研究工作， Optimization.Beijing:Tsinghua University Press,2004 可以从以下几个方面开展： (玄光南，程润伟.遗传算法与工程优化.北京：清华大学出版 (1)多目标粒子群算法基础理论的研究.目前 社，2004) 的研究大多集中于算法性能改善以及应用范围推 [6]Tseng C H,Lu T W.Minimax multiobjective optimization in

群最优粒子的信息，同时还融入了相邻粒子信息. Pan 等[51] 提出了将认知学习部分删除，能够保证 算法的收敛以及有效学习. 进化算法进行优化时，通常需要针对问题选 择和调整算法[81] . 参数校正方面，Han 等[82] 提出了 一种自适应飞行参数调节机制，利用多样性信息 和种群速度信息，对全局探索和局部开发之间的 关系进行平衡. 该算法的新颖之处就在于能够结 合解分布熵同步完成飞行参数的调节以及全局最 优粒子的选择. 夏立荣等[83] 基于层次分析方法，设 计出一种进化因子，通过度量进化状态自适应调节 参数. Liu 等[84] 应用强化学习理论中的 Q-Learning 方法，以目标空间中 Pareto 前沿的粒子数量、决策 空间中粒子间距为状态，以粒子群算法中 3 个主 要参数——惯性权重系数和两个认知加速度系数 为动作 ，建立三维 Q 表 ，自适应调整算法参数. Hu 等[85] 通过改变参数来提高算法的鲁棒性，虽然 可以防止算法陷入局部最优，收敛精度也有所提 高，但大量“新”变量的引入有可能会增加计算复 杂度[86] . Ding 等[87] 应用田口方法作为响应值来调 整参数. Tang 等[36] 以保证收敛性能为参数选择原 则，以开发和挖掘的不同偏好为目标设计了自适 应参数调节机制，并且讨论了参数对收敛性能的 影响. 拓扑结构方面，Yue 等[88] 提出的基于环形拓 扑和特殊拥挤距离的多目标粒子群优化算法，在 决策空间中，引入无需参数的环形拓扑结构帮助 形成稳定的小生境，有利于减少多样性损失. 高海 军与潘大志[89] 采用星型拓扑结构，在收敛速度方 面表现出一定的优势. Zhang 等[44] 对划分的子种 群采用环形拓扑结构，有利于信息交互和保持多 样性. 4    总结与展望 本文主要就多目标粒子群算法中最优粒子选 择，多样性保持，收敛性提高，多样性与收敛性之 间的平衡，以及迭代公式、参数、拓扑结构等改进 措施进行了系统分析. 近几年来，算法自身性能得 以提升，应用领域不断拓展，涌现出大量行之有 效、独特新颖的先进成果. 然而，随着信息科学和 计算技术的高速发展，多目标粒子群算法在优化 效果上仍具有一定的提升空间. 今后的研究工作， 可以从以下几个方面开展： （1）多目标粒子群算法基础理论的研究. 目前 的研究大多集中于算法性能改善以及应用范围推 广，由于相关数学理论不够完备，与算法相关的收 敛性、稳定性、参数鲁棒性以及计算复杂度等研 究有待深入开展； （2）动态环境评估机制的完善. 更新过程中， 个体当前状态的反馈信息都将作为下次迭代如何 实施的重要因素，这就要求能够客观、准确地对环 境状态进行估计，而单一的评价指标难以全面衡 量环境情况. 因此，多指标融合的动态环境评价策 略尚需进一步改进； （3）种群个体自学习、自组织能力的提高. 作 为一类元启发式算法，随机性有利于多样性却不 利于收敛，而高速的收敛又容易导致早熟，难以保 证稳定的优化结果. 为了削弱算法中不确定因素 的影响，获得高效、准确的优化效果，往往会对种 群中个体加以引导，而引导策略大多是人为规定 且基于主观偏好，缺乏客观性和有效性，因此，基 于机器学习、深度学习、强化学习等先进理论的 种群个体自学习、自组织能力的算法亟需进一步 探究； （4）自适应方法的拓展. 优化过程中不同阶段 对探索能力和挖掘能力的需求有所不同，不同多 目标优化算法在收敛速度和多样性能方面的表现 也各有利弊. 单一策略或固定模式的算法融合很 难适用于所有优化问题. 因此，为了促进算法对优 化问题的适应性，基于进程估计和策略选择的自 适应调整机制仍需不断优化. 参    考    文    献 He X M, Dong S H. Research on rush order insertion rescheduling problem  under  hybrid  flow  shop  with  multi-objective  and  multi￾constraint. Chin J Eng, 2019, 41（11）: 1450 （何小妹, 董绍华. 多目标多约束混合流水车间插单重调度问题 研究. 工程科学学报, 2019, 41（11）：1450） [1] Zadeh L A. Optimality and non-scalar-valued performance criteria. IEEE Trans Autom Control, 1963, 8（1）: 59 [2] Haimes  Y  Y,  Lasdon  L  S,  Wismer  D  A.  On  a  bicriterion formulation of the problems of integrated system identification and system  optimization. IEEE Trans Syst Man Cybern,  1971,  SMC- 1（3）: 296 [3] Charnes  A,  Cooper  W  W,  Ferguson  R  O.  Optimal  estimation  of executive  compensation  by  linear  programming. Manage Sci, 1955, 1（2）: 138 [4] Xuan  G  N,  Cheng  R  W. Genetic Algorithm and Engineering Optimization. Beijing: Tsinghua University Press, 2004 （ 玄光南, 程润伟. 遗传算法与工程优化. 北京: 清华大学出版 社, 2004） [5] [6] Tseng  C  H,  Lu  T  W.  Minimax  multiobjective  optimization  in · 750 · 工程科学学报，第 43 卷，第 6 期

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