例7A= 求A-1 1000:1000 解L4E]- 100:0100 a2a10:0010 1:00 依次作初等行变换F-ar3,r3-a2,r2-mr1可得 1000:1000 0100:-a100 0010:0-a10 故A 定理8设A,Bn,则A坐B冷 存在可逆矩阵Pm和Qmn,使得PAQ=B 证必要性.已知A=B,则存在m阶初等矩阵P,…,P和m阶初等 矩阵Q1,…,Q,使得P…PAg1…Q,=B,令 P= P Q=Q1;…,Q1 则有P4Q=B 充分性.已知PAQ=B,则由定理7知,P和Q都可以表示为 有限个初等矩阵的乘积,即 P=B1,…,P,Q=Q1,…,Q112 例 7             = 1 1 1 1 3 2 2 a a a a a a A , 求 −1 A ． 解 A E             = 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 3 2 2 a a a a a a 依次作初等行变换 4 ar3 r − , 3 ar2 r − , 2 ar1 r − 可得 A E             − − − → 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 a a a 故             − − − = − 1 1 1 1 1 a a a A ． 定理 8 设 Amn , Bmn , 则 A  B  存在可逆矩阵 Pmm 和 Qnn , 使得 PAQ = B ． 证 必要性．已知 A  B , 则存在 m 阶初等矩阵 P Ps , , 1  和 n 阶初等 矩阵 Q Qt , , 1  , 使得 Ps P1AQ1 Qt = B , 令 P P Ps , , = 1  , Q Q Qt , , = 1  则有 PAQ = B ． 充分性．已知 PAQ = B , 则由定理 7 知, P 和 Q 都可以表示为 有限个初等矩阵的乘积, 即 P P Ps , , = 1  , Q Q Qt , , = 1 