证必要性.已知de≠0,则A满秩→A=E,故存在初等矩阵 P,…,P,及Q1,…Q,使得 只…P4Q1…Q=En,A=P…P:2… 而P与Q都是初等矩阵 充分性.显然成立 矩阵求逆方法之二(初等行变换法): det4fxn≠0→A=P1P2…P,(P都是初等矩阵) P…P2P1A=E P1[4E]=[E|A P-1…P2PE= 由此可得:对nxm矩阵[4|E]施行“初等行变换”,当前n列 A的位置)成为E时,则后n列(E的位置)为A 例6A=212,求 23:100 3100 解[A|E]=212:010+0-3-4:-210 23:1001101:30-2 行 011:-101→01 100 001:5 故A 511 证 必要性．已知 detA  0, 则 A 满秩  A  En , 故存在初等矩阵 P Ps , , 1  及 Q Qt , , 1  , 使得 Ps P1AQ1 Qt = En , 1 1 1 1 1 1 − − − − A = P Ps Qt Q 而 −1 Pi 与 −1 Qj 都是初等矩阵． 充分性．显然成立． 矩阵求逆方法之二（初等行变换法）： detAnn  0  A = P1P2 Ps （ Pi 都是初等矩阵）     = = − − − − − − − 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 P P P E A P P P A E s s        1 1 1 1 2 −1 − − − Ps P P A E = E A 由此可得：对 n2n 矩阵 A E 施行“初等行变换”，当前 n 列 （ A 的位置）成为 E 时，则后 n 列（ E 的位置）为 −1 A ． 例 6           = 1 3 4 2 1 2 1 2 3 A , 求 −1 A ． 解 A E           = 1 3 4 0 0 1 2 1 2 0 1 0 1 2 3 1 0 0           − → − − − 0 1 1 1 0 1 0 3 4 2 1 0 1 2 3 1 0 0 行           − − − → − 0 3 4 2 1 0 0 1 1 1 0 1 1 2 3 1 0 0 行           − − − − → 0 0 1 5 1 3 0 1 1 1 0 1 1 0 1 3 0 2 行           − − − − → 0 0 1 5 1 3 0 1 0 6 1 4 1 0 0 2 1 1 行           − − − − → 0 0 1 5 1 3 0 1 0 6 1 4 1 0 0 2 1 1 行 故           − − − − = − 5 1 3 6 1 4 2 1 1 1 A ．