复旦大学数学科学学院 2017~2018学年第二学期期末考试试卷 A卷解答 11.(本题共40分,每小题5分)计算下列各题 1(1)设z=(1+x)2lm(+xy),求= 解:=(1+x)y(2ln(+xy)+1) (2)解方程y'--y=2x2 1解:可得(x2y)y=2,所以通解y=x2(2x+c)。 (3)求椭球面x2+y2+-=1上一点,使得在这点的椭球面切平面与x-y+2x=4平 行 染}解:切平面法向为(2x2y),可设===, 长1代入方彩4421,所以=75,所求点为士( t2 t2 4t2 N10'V10'V5) (4)求函数u=x3+2y2-3x-12y的极值。 解:先求驻点,l2=3x2-3,1=4y-12,得驻点(1,3),(-1,3), 由mn=6x,n=4.my=0,在点(1,3),△=mnn-=24>0,且vn=6>0 1所以函数在点(1,3)有极小值am=-20,在点(-1,3),△=mn-n2=-24<0 1所以函数在点(-1,3)没有极值。 1(5)计算「(x+y)ds,其中曲线L:x2+y2=2x。 解:原式-(+cos+sinO)0=2 1()计算∫」=adh,其中9由=3-x2-y2和=0所围。 解:原式址==(-2M=271 复旦大学数学科学学院 2017～2018 学年第二学期期末考试试卷 A 卷解答 1. （本题共 40 分，每小题 5 分）计算下列各题 (1)设 (1 ) ln(1 ) 2 z   xy  xy ，求 x z  。 解： x z   (1 xy)y(2ln(1 xy) 1)。 (2)解方程 2 2 2 y x x y    。 解： 可得 ( ) 2 2    x y ，所以通解 (2 ) 2 y  x x  c 。 (3)求椭球面 1 2 2 2 2    z x y 上一点，使得在这点的椭球面切平面与 x  y  2x  4 平 行。 解： 切平面法向为 (2x,2y,z) ，可设 t x y z     1 2 2 1 2 ， 代入方程， 1 2 4 4 4 2 2 2    t t t ，所以 5 2 t   ，所求点为 ) 5 2 ,2 10 1 , 10 1  (  。 (4) 求函数 u x 2y 3x 12y 3 2     的极值。 解：先求驻点， 3 3, 4 12 2 u  x  x  u  y  y  ，得驻点（1,3），（-1,3）, 由 u  xx   6x, u  yy   4,u  xy  0，在点（1,3）， 24 0 2   u  xx  u  yy  u  xy    ，且 u xx   6  0， 所以函数在点（1,3）有极小值 umin  20，在点（-1,3）， 24 0 2   u  xx  u  yy  u  xy     ， 所以函数在点（-1,3）没有极值。 (5) 计算   L (x y)ds ，其中曲线 L : x y 2x 2 2   。 解： 原式=      (1 cos sin ) 2 2 0     d 。 (6) 计算   z dxdydz 2 ，其中 由 z  3 x 2  y 2 和 z  0 所围。 解： 原式=   4 27 (3 ) 3 0 2 3 0 2        z dz dxdy z z dz z 。 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）