设有非齐次线性方程组 a1x1+a12x2+…+a1 b 2 (4.7) a,x,+ax++ x=b 若记a1=(a1,a1y,an),j=12,…,n,b=(b,b2,,bn)x=(x,x2…,xn), A=(a1,a2…an)。则(47)可写成4x=b (48) x1a1+x2a2+…+xnGn=b 容易验证,非齐次线性方程组Ax=b的解具有下列性质 (1)设71,们2是Ax=b的解,则x=7-72是对应齐次方程组(也称为Ax=b的导出 组)Ax=0的解 (2)若η是Ax=b的一个解,5是导出组Ax=0的通解,则称x=+5为Ax=b 的通解 因此,我们得到了关于线性方程组(4.7)的相容性有下列四种等价说法 (1)方程组Ax=b有解 (2)R(A)=R(B,其中B=(A,b) (3)向量b可由向量组a1,a2,axn线性表示, (4)向量组a1a2,…,an与《1,a2…,Cn,b等价 3.举例 例4.17求方程组的基础解系和通解 x=0 2x3+3x4=0 解 A=1-11-3|→002-4→0012 001 因R(A)=2,n=4,故基础解系有两个解,保留方程组为设有非齐次线性方程组        + + + = + + + = + + + = m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 （4.7） 若记 T m T j (a j ,a j ,...,amj ) , j 1,2,....,n, b (b ,b ,...,b )  = 1 2 = = 1 2 ( , ,..., ) , 1 2 T x = x x xn ( , ,..., ) A = 1  2  n 。则（4.7）可写成 Ax = b （4.8） x11 + x2 2 ++ xn n = b （4.9） 容易验证，非齐次线性方程组 Ax = b 的解具有下列性质： （1） 设 1 2  , 是 Ax = b 的解，则 x =1 −2 是对应齐次方程组（也称为 Ax = b 的导出 组） Ax = 0 的解： （2） 若 *  是 Ax = b 的一个解，  是导出组 Ax = 0 的通解，则称 = + * x 为 Ax = b 的通解。 因此，我们得到了关于线性方程组（4.7）的相容性有下列四种等价说法： （1） 方程组 Ax = b 有解； （2） R(A) = R(B), 其中 B = (A,b), （3） 向量 b 可由向量组    n , ,..., 1 2 线性表示， （4） 向量组    n , ,..., 1 2 与 1 , 2 ,..., n ,b 等价。 3. 举例 例 4.17 求方程组的基础解系和通解      − − + = − + − = − − + = 2 3 0 3 0 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 解：           − − − →           − − − →           − − − − →           − − − − − − = + + − − 0 0 0 0 0 0 1 2 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 2 1 1 1 1 0 0 1 2 0 0 2 4 1 1 1 1 1 1 2 3 1 1 1 3 1 1 1 1 1 2 2 3 2 2 1 3 1 2 1 r r r r r r r r r A 因 R(A) = 2,n = 4 ，故基础解系有两个解，保留方程组为