(5)变差缩减性。若 Bezier曲线的特征多边形f5f…是一个平面图形,则平面内任意直线与Ct)的交 点个数不多于该直线与其特征多边形的交点个数,这一性质叫变差缩减性质。此性质反映了 Bezier曲线比 其特征多边形的波动还小,也就是说 Bezier曲线比特征多边形的折线更光顺 (6)仿射不变性 对于任意的仿射变换A: AP)-4>,∑1, 即在仿射变换下,P()的形式不变 31.2.2 Bezier曲线的递推( de Casteljau)算法 如图3.10所示,设召、B、B是一条抛物线上顺序三个不同的点,过和点的两切线交分 计算 Bezier曲线上的点,可用 Bezier曲线方程,但使用 de casteljau提出的递推算法则要简单的 在点的切线交B和马月于和F,则如下比例成立 B2_B_22 21BB12 这是所谓抛物线的三切线定理。 22 Bezier曲线上的点 图3.1.10抛物线三切线定理 当P,P2固定,引入参数t,令上述比值为t:(1-t),即有: ①1-tB+ =①-t)+鸪 2--切)a+t t从0变到1,第一、二式就分别表示控制二边形的第一、二条边,它们是两条一次 Bezier曲线。将一 二式代入第三式得 P=(1-t)2P+2t01-t)P+tP 当t从0变到1时,它表示了由三顶点P、P1、P2三点定义的一条二次 Bezier曲线。并且表明:这二次 Bezier曲线P可以定义为分别由前两个顶点(P,P)和后两个顶点(P,P2)决定的一次 Bezier曲线的线 性组合。依次类推,由四个控制点定义的三次 Bezier曲线P可被定义为分别由(P,P1,P)和(P,P2,P3) 确定的二条二次 Bezier曲线的线性组合,由(n+1)个控制点P(i=0,1 n)定义的n次 Bezier曲线Pe 可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次 Bezier曲线P与Pr的线性组合 f3=(1-)28+t1t∈[0,1 由此得到 Bezier曲线的递推计算公式 B k=0 (1-)2+t2Hk=12,n=01,…,n-k 计算机图形学第三章(1)第57页共29页计算机图形学 第三章(1) 第 57 页 共 29 页 （5）变差缩减性。若 Bezier 曲线的特征多边形 是一个平面图形，则平面内任意直线与 C(t)的交 点个数不多于该直线与其特征多边形的交点个数，这一性质叫变差缩减性质。此性质反映了 Bezier 曲线比 其特征多边形的波动还小，也就是说 Bezier 曲线比特征多边形的折线更光顺。 （6）仿射不变性 对于任意的仿射变换 A： 即在仿射变换下， 的形式不变。 3.1.2.2 Bezier 曲线的递推(de Casteljau)算法 计算 Bezier 曲线上的点，可用 Bezier 曲线方程，但使用 de Casteljau 提出的递推算法则要简单的多。 如图 3.1.10 所示，设 、 、 是一条抛物线上顺序三个不同的点。过 和 点的两切线交于 点， 在 点的切线交 和 于 和 ，则如下比例成立： 这是所谓抛物线的三切线定理。 当 P0，P2固定，引入参数 t，令上述比值为 t:(1-t)，即有： t 从 0 变到 1，第一、二式就分别表示控制二边形的第一、二条边，它们是两条一次 Bezier 曲线。将一、 二式代入第三式得： 当 t 从 0 变到 1 时，它表示了由三顶点 P0、P1、P2三点定义的一条二次 Bezier 曲线。并且表明：这二次 Bezier 曲线 P 2 0可以定义为分别由前两个顶点（P0，P1）和后两个顶点（P1，P2）决定的一次 Bezier 曲线的线 性组合。依次类推，由四个控制点定义的三次 Bezier 曲线 P 3 0可被定义为分别由(P0，P1，P2)和(P1，P2，P3) 确定的二条二次 Bezier 曲线的线性组合，由(n+1)个控制点 Pi(i=0, 1, ..., n)定义的 n 次 Bezier 曲线 P n 0 可被定义为分别由前、后 n 个控制点定义的两条(n-1)次 Bezier 曲线 P0 n-1与 P1 n-1的线性组合： 由此得到 Bezier 曲线的递推计算公式：