当t=0时,2(0=m(2-(2-2+0) 当t=1时,2(D)=(2-1D(2-221+2n2) 上式表明:2阶导矢只与相邻的3个顶点有关,事实上,r阶导矢只与(r+1)个相邻点有关,与更远点无关。 k(t)= p()×xF() 将P(0、P(0)QF0、F)代曲率公式o 可以得到 Bezier曲线在端点的曲 率分别为: k(0) (R-P)X(P-P) -2 k(1) 1(PR-1-PM-2)X(PR-PR |P k阶导函数的差分表示 n次 Bezier曲线的k阶导数可用差分公式为 △F2B13k(C)t∈[0, 其中高阶向前差分矢量由低阶向前差分矢量递推地定义: △2=△k1 例如:△B=B △2=△P1-△B3=Pn1P △21=△E1-△B=12-2P1+ (2)对称性。由控制顶点 F=Py(i=0,1…,n) 构造出的新 Bezier曲线,与原 Bezier曲线形状相 ,走向相反。因为: C*()-∑FB,-∑22()-∑232(1-1)-∑B2(1-D,t∈0 这个性质说明 Bezier曲线在起点处有什么几何性质,在终点处也有相同的性质 (3)凸包性 之B,日0≤B()10≤:1=0…n),这一结果说明当t在[D,1区间变化时 对某一个t值,P(t)是特征多边形各顶点的加权平均,权因子依次是2。在几何图形上,意味着 Bezier 曲线P()在∈[0,1中各点是控制点B的凸线性组合,即曲线落在P构成的凸包之中,如图3.1.9所示 凸包 图3.1.9 Bezier曲线的凸包性 (4)几何不变性。这是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。 Bezier曲线的位置与形状与其特征多 边形顶点2(=01…)的位置有关,它不依赖坐标系的选择,即有: B2()=∑?B2 (参变量u是t的置换) 计算机图形学第三章(1)第56页共29页计算机图形学 第三章(1) 第 56 页 共 29 页 当 t=0 时， 当 t=1 时， 上式表明：2 阶导矢只与相邻的 3 个顶点有关，事实上，r 阶导矢只与（r+1）个相邻点有关，与更远点无关。 将 、 及 、 代入曲率公式 ，可以得到 Bezier 曲线在端点的曲 率分别为： d. k 阶导函数的差分表示 n 次 Bezier 曲线的 k 阶导数可用差分公式为： 其中高阶向前差分矢量由低阶向前差分矢量递推地定义： 例如： （2）对称性。由控制顶点 构造出的新 Bezier 曲线，与原 Bezier 曲线形状相 同，走向相反。因为： 这个性质说明 Bezier 曲线在起点处有什么几何性质，在终点处也有相同的性质。 （3）凸包性 由于 ，且 ，这一结果说明当 t 在[0，1]区间变化时， 对某一个 t 值，P(t)是特征多边形各顶点 的加权平均，权因子依次是 。在几何图形上，意味着 Bezier 曲线 P(t)在 中各点是控制点 Pi的凸线性组合，即曲线落在 Pi构成的凸包之中，如图 3.1.9 所示。 （4）几何不变性。这是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。Bezier 曲线的位置与形状与其特征多 边形顶点 的位置有关，它不依赖坐标系的选择，即有： （参变量 u 是 t 的置换）