∫∈X",f(x)≠∫(x2) 证明由x-x2≠0,根据推论1,存在∫∈X”, |x-x≠0,故f(x)≠f(x) 从直观上说,推论1表明,对于一个非零线性赋范空间,一定存 在非零连续线性泛函.推论2则表明非零连续线性泛函是足够多的, 以至于每两个不同的点都可以由某个连续线性泛函区分开来.有时简 单的说,X在X上可以区分点 推论3设X是线性赋范空间,x1,x∈X,若对于任何f∈X f(x)=f(x2),则x=x2 这是由推论2的逆否命题 推论4设X为线性赋泛空间,x∈X,则 xo l=sulfo(x)I 证明首先由s1,则 于是sup(x)=|1.再由推论1,存在f∈x,‖=1, vIsI f6(x)=1|xl,故 supJo( 从而等式(5)成立7 f X ∗ ∈ ， () ( ) 1 2 f x fx ≠ . 证 明 由 1 2 x x − ≠ 0 ，根据推论 1 ，存在 f X ∗ ∈ ， ( ) 12 12 fx x x x − =−≠ 0 ，故 f ( x fx 1 2 ) ≠ ( ). 从直观上说，推论 1 表明，对于一个非零线性赋范空间，一定存 在非零连续线性泛函. 推论 2 则表明非零连续线性泛函是足够多的， 以至于每两个不同的点都可以由某个连续线性泛函区分开来. 有时简 单的说， X ∗ 在 X 上可以区分点. 推论 3 设 X 是线性赋范空间， 1 2 x , x X ∈ ，若对于任何 f X ∗ ∈ ， f ( ) x fx 1 2 = ( ) ，则 1 2 x = x . 这是由推论 2 的逆否命题. 推论 4 设 X 为线性赋泛空间， 0 x ∈ X ，则 0 0 ( ) 1 sup f x f x ≤ = . ( ) 6 证 明 首先由 f ≤1，则 f0 0 ( x fx ) ≤ 0 ≤ x ， 于 是 0 0 ( ) 1 sup f f x x ≤ ≤ . 再由推论 1 ，存在 f X ∗ ∈ ， f =1 ， f0 0 ( ) x x = ，故 0 0 ( ) 1 sup f x f x ≤ ≤ , 从而等式 ( ) 5 成立