f(x)=6(x),x∈M,‖f=6 (称∫是」的保范线性延拓) 证明令P(x)=|,p(x)是X上的半范数并且 J6(x)=6Nx=p(x),Wx∈M 在复空间情况,由定理2,存在X上的线性泛函∫,使得 f(x)=后(x),x∈M,并且 J(x)≤p(x)=,wxex 在实空间情况,由定理1,存在X上的线性泛函∫使得 ±f(x)≤p(±x)=pP(x)=|f,x∈x 从而f(x)≤G,fs,f连续另一方面, Ill=sup o() ≤.sup|f(x)=|f‖ 总之,f=|fG 注意,(5)说明了任一线性泛函(或算子)延拓后范数不会减少 推论1设X是线性赋范空间,x∈X,x0≠0,则存在f∈X ‖fl=1,f(x)=|x 证明考虑子空间M={axa∈和M上的线性泛函 f6(ax)=a|xl,f在M上连续,实际上,对于x=ax, Jo(x)=o(axo)=1all-oll=x 所以l=1.又显然f6(x)=|x,由定理3,存在f∈x,‖f=1 当x∈M时f(x)=(x),特别地,f6(x)=f0(x)=|xl 推论2设X是线性赋范空间,x,x2∈X,x≠x2,则存在6 f ( ) x fx = 0 ( ) ， ∀x∈ M ， 0 f = f . (4) （称 f 是 0f 的保范线性延拓）. 证 明 令 ( ) 0 p x fx = ， p ( x)是 X 上的半范数并且 f0 0 ( ) x f x px = = ( ) ， ∀x∈ M 在复空间情况，由定理 2 ，存在 X 上的线性泛函 f ，使得 f ( ) x fx = 0 ( ) ， ∀ ∈x M ，并且 ( ) ( ) 0 f x px f x ≤ = ， ∀x∈ X 在实空间情况，由定理 1，存在 X 上的线性泛函 f 使得 () ( ) 0 ± ≤ ± = = ∀∈ f x p x px f x x X () , . 从而 ( ) 0 f x fx ≤ ， 0 f ≤ f ， f 连续. 另一方面， 0 0 ( ) ( ) 1, 1, sup sup x xM x xM f f x fx ≤∈ ≤∈ = = ( ) 1, sup x xX f x f ≤ ∈ ≤ = ， ( ) 5 总之， 0 f = f . 注意， ( ) 5 说明了任一线性泛函（或算子）延拓后范数不会减少。 推论 1 设 X 是线性赋范空间， 0 x ∈ X ， 0 x ≠ 0，则存在 f X ∗ ∈ 使得 f =1， ( ) 0 0 f x x = . 证 明 考虑子空间 M x = {α α0 ; ∈Φ} 和 M 上的线性泛函 f00 0 ( ) α α x x = ， 0f 在 M 上连续. 实际上，对于 0 x =αx , f0 00 0 ( ) x fx x x = == ( ) α α ， 所以 0f =1. 又显然 f00 0 ( ) x x = ，由定理 3，存在 f X ∗ ∈ ， f =1. 当 x∈ M 时 () () 0 f x fx = ，特别地， f0 00 0 ( x fx x ) = = ( ) . 推论 2 设 X 是线性赋范空间， 1 2 x , x X ∈ ， 1 2 x ≠ x ，则存在