F(x)sp(x),Wx∈X 证明在M上,设f6(x)=f(x)-(x),把M看成实线性子 空间(同样的,把X看成实线性空间),由假设 f(x)3f(xso(x)sp(),WxEM 由定理1,存在实线性泛函F1:X→>R,使得 F(x)=fo F(x)≤P(x),Vx∈ 考虑复泛函F(x)=F(x)-iF(ⅸx),由于 F(x+y)=F(x+y)-iF(ix+iy) F(x)+F()-iF()-iF(iy) =F(x)+F(y),Vx,y∈X 若a为实数 F(ax =F(ax)-iF (iax)=aF()-aiF(ix)=aF(x) (ix) =F(ix)-iF (x)=iF (x)-iF(ix)=iF() 由此,对于任意复数a,B与任意x,y∈X F(ax+By)=aF(x)+BF(y) F是复线性的.若x∈M,则 (x)=F(x-iF(ix)=f(x)-if(ix)=fo(x) 故F是f的延拓若设F(x)=P",则F(ex)=r为实数,此时 F()=F("x)-F(e)sp("x)=p(x) F(x)即是所要求的复线性泛函 定理3设X是(实或复)线性赋范空间,McX是线性子空 间,f是M上的连续线性泛函.则存在X上的线性泛函∫,使得5 Fx px ( ) ≤ ( ) ， ∀x∈ X . (3) 证 明 在 M 上，设 f0 11 ( x f x if ix ) = − ( ) ( ) ，把 M 看成实线性子 空间（同样的，把 X 看成实线性空间），由假设 f11 0 () () x f x f x px ≤≤≤ ( ) ( ) ， ∀x∈ M ， 由定理 1，存在实线性泛函 1 FX R : → ，使得 F1 1 ( ) x fx = ( )， ∀x∈ M ， F1 () () x px ≤ ， ∀x∈ X . 考虑复泛函 F ( ) x F x iF ix = − 1 1 ( ) ( )，由于 F ( ) x y F x y iF ix iy += +− + 1 1 ( ) ( ) =+− − F11 1 1 ( x F y iF ix iF iy ) ( ) ( ) ( ) = + F ( x Fy ) ( ) ， ∀x, y X ∈ 若 α 为实数， F (αx F x iF i x ) () = − 1 1 α α( ) = − α α F1 1 ( x iF ix ) ( ) =αF ( ) x 又 F (ix F ix iF x ) () = −− 1 1 ( ) =− = iF x iF ix iF x 1 1 ( ) ( ) ( ) 由此，对于任意复数 α,β 与任意 x, y X ∈ ， F (αβ α β x y Fx Fy += + ) ( ) ( ) F 是复线性的. 若 x∈ M ，则 F ( x F x iF ix f x if ix f x ) () =− =− = 1 1 11 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 故 F 是 0f 的延拓. 若设 ( ) i F x re θ = ，则 ( ) i Fe x r − θ = 为实数，此时 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) i ii F x Fe x F e x pe x px − −− θ θθ = = ≤= . F ( ) x 即是所要求的复线性泛函. 定理 3 设 X 是（实或复）线性赋范空间， M ⊂ X 是线性子空 间， 0f 是 M 上的连续线性泛函. 则存在 X 上的线性泛函 f ，使得