(ax+ Bx)=g(ax+Bx=ag(x)+Bg(r,) (x)+ Bh() h是线性泛函显然MCM并且当x∈M时,h(x)=g(x)=6(x) 此外若x∈M,不妨设x∈M2,则h(x)=g(x)≤P(x),从而h∈G, h≥g(vg∈G),h是G0的上界 根据Zorn引理,G有极大元∫,∫即是定理中所需要的延拓.为 此只需证明M/=X.如若不然,必存在x∈\My,由1有∈G, M=span{x,M},M≠M,故广≥∫,∫≠∫,这与∫为极大元 矛盾 现在我们转到复空间上的线性泛函∫.不妨设 f(x)=f(x)+2( 其中f,f2分别是∫的实部和虚部,根据∫的线性,容易验证f1,是 实线性泛函.又由∫的复线性以及实际计算得到 j(x)=f(x)=f(x)+n2(x), (x)=if(x)-f2(x) 从而(x)=-f(x),故 由此知道,复空间上任何复线性泛函可以通过它的实部表达出来 但应注意,对于实线性泛函A,一般来说f(ix)≠f(x) 定理2设X是复线性空间,P是X上的半范数.若M是X的 线性子空间,f是M上的复线性泛函,满足 6(x)≤P(x),wx∈M 则存在X上的线性泛函F,使得 F(x)=f0(x),Vx∈M4 h x x g x x gx gx (αβ αβ α β += += + ′ ′ ′ ′′ ) '( ) ( ) ( ) = + α β hx hx ( ) ( ′) , h 是线性泛函. 显然 M ⊂ M j 并且当 x∈ M 时， ( ) ( ) () 0 hx gx f x = = . 此外若 x∈ M j ，不妨设 g x∈ M ，则 hx gx px ( ) = ≤ ( ) ( ) ，从而 h G∈ ， h g ≥ ( ) 0 ∀ ∈g G ， h 是 G0的上界. 根据 Zorn 引理，G 有极大元 f ， f 即是定理中所需要的延拓. 为 此只需证明 . M f = X 如若不然，必存在 0 \ f x ∈ X M ，由1 D 有 f ′∈G ， M f ′ = span 0 { , }, x M M ′ f f ≠ M ，故 f ′ ≥ f , f ′ ≠ f ，这与 f 为极大元 矛盾. 现在我们转到复空间上的线性泛函 f . 不妨设 f ( x f x if x ) = + 1 2 ( ) ( ) ， 其中 1 2 f , f 分别是 f 的实部和虚部，根据 f 的线性，容易验证 1 2 f , f 是 实线性泛函. 又由 f 的复线性以及实际计算得到 if x f ix f ix if ix ( ) ==+ ( ) 1 2 ( ) ( ) ， if x if x f x ( ) = − 1 2 ( ) ( ). 从而 f2 1 () ( ) x f ix = − ，故 f ( ) x f ix if ix = − 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 由此知道，复空间上任何复线性泛函可以通过它的实部表达出来. 但应注意，对于实线性泛函 1f ，一般来说 f1 1 (ix if x ) ≠ ( ). 定理 2 设 X 是复线性空间， p 是 X 上的半范数. 若 M 是 X 的 线性子空间， 0f 是 M 上的复线性泛函，满足 f0 ( ) x px ≤ ( ) ， ∀x∈ M ， 则存在 X 上的线性泛函 F ，使得 F ( ) x fx = 0 ( ) ， ∀x∈ M