我们将取这样的c作成所要的线性泛函 此时若x=x+x0,1>0,由P(x+y)-J6(y)2c对于每个y∈M 成立,用(x代替y,则 p(x+r2x)-6(r-x)≥c, 从而 f(x)=f(x)+tcsp(x+to=p(x') 若x=x+,t<0,由f6(x)-p(x-x)≤c对于每个x∈M成 立,用-x代替x,则 f6(-rx)-p(-rx-x)≤ 即-f6(x)+P(x+D0)≥C.从而 f(x)=fo(x)+tcsp(x+txo=P() 当t=0时,显然f(x)=f6(x)<P(x)=P(x).故∫是后从M到 M上满足(1)的延拓。 3°现在让我们应用Zorn引理完成定理的最后证明 设G是f6的所有延拓的集合,即对于每个g∈G, (1)g在X的子空间M8上有定义,McM8 (2)Vx∈M,g(x)=6(x), (3)g(x)≤p(x),x∈M 在G中规定半序:g≤8′当且仅当M∈Mg,并且 g(x)=g(x)(x∈Mx),容易验证,G确实是半序集 若G是G的全序子集,令M=∪M,当x∈M时,定义 h(x)=g(x)由于G0是全序的,M为线性子空间:例如当x,x∈M 时,若x∈M,x∈Mg,不妨设M8∈M2,则ax+Bx∈McM 此时3 我们将取这样的 c 作成所要的线性泛函. 此时若 0 x′ = +x tx ，t＞0 ，由 p ( x y fy c 0 0 + ) − ≥ ( ) 对于每个 y M∈ 成立，用 1 t x − 代替 y ，则 ( ) ( ) 1 1 0 0 p x tx f tx c − − + − ≥ ， 从而 f ( ) x f x tc p x tx p x ′ ′ = +≤ + = 0 0 ( ) ( ) ( ). 若 0 x′ = +x tx ， t < 0 ，由 f0 0 ( x px x c ) − ( − ≤) 对于每个 x∈ M 成 立，用 1 t x − − 代替 x ，则 ( ) ( ) 1 1 0 0 f tx p tx x c − − − −− − ≤ ， 即 − + +≥ f0 0 () ( ) x p x tx tc . 从而 f ( x f x tc p x tx p x ′ ′ ) () = +≤ + = 0 0 ( ) ( ). 当 t = 0时，显然 f ( ) x f x px px ′ = = 0 ( )＜ ( ) ( ′). 故 f 是 0f 从 M 到 M ′ 上满足 (1) 的延拓。 3D 现在让我们应用 Zorn 引理完成定理的最后证明. 设 G 是 0f 的所有延拓的集合，即对于每个 g G∈ ， （1） g 在 X 的子空间 M g 上有定义， M ⊂ M g ， （2） ∀ ∈x M ， gx f x ( ) = 0 ( ) ， （3） gx px () () ≤ ， g x∈ M . 在 G 中规定半序： g g ≤ ′ 当且仅当 M g ⊂ M g′ ，并且 gx g x ( ) = ′( ) ( ) g x∈ M ，容易验证， G 确实是半序集. 若 G0 是 G 的全序子集，令 j 0 g g G M M ∈ = ∪ ， 当 g x∈ M 时，定义 hx gx () () = . 由于 G0是全序的， M j 为线性子空间：例如当 x, x M ′∈ j 时，若 g x∈ M ， g ' x′∈ M ，不妨设 M g ⊂ M g ' , 则 j g α β x +∈⊂ xM M ′ ′ ， 此时