x=md-(N-m)d=(2m-N)d (420) d表示相邻间隔的距离,式(4.19)和(420)实际上概括了布朗运动的统计分布, 到达距离x的统计几率直接由(415)式给出。由此,经过时间t后,间隙原子沿x方 向移动的方均位移为 ∑Cm(2m-N)d (4.21) 经过数学计算并代入(418)和(48)式,最终得到 Ea/kg (4.22) 这就是由微观理论推导出来的方均位移的表达式 另一方面,方均位移也可以由宏观扩散方程的解(4.15)式得到: n(x, ndx=2Dt (4.23) 比较(422)和(423)可以得到: D=vde ag (424) 这个结果从理论上说明了扩散系数和温度的关系。比较上式和(417)式就看到 Q=Ea,这表明对于间隙原子,扩散激活能直接表示了原子跳跃的势垒高度。 晶体中的自扩散和替位式杂质原子的扩散问题更为复杂,这取决于扩散进行的机 制。一般认为,通过空位进行扩散是最常见的方式。按照这种运动形式,在格点上的原 子只有当一个空位出现在它周围的时候,它才有可能跳跃进这个空位从而移动一步,这 种情况下的跳跃率应该写成 Pye-Ea/kg 这个公式的形式和前面间隙原子跳跃率相类似,只是增加了因子P,用于表示邻近 格点为空位的几率。 如前所述,在一定的温度下,空位的平衡数目为 所以格点被空位占据的几率就等于 因此,在晶体的自扩散中,跳跃率(421)可以写成 据此,可以知道扩散系数D=De中−−= = − )2()( dNmdmNmdx （4.20） d 表示相邻间隔的距离，式（4.19）和（4.20）实际上概括了布朗运动的统计分布， 到达距离 x 的统计几率直接由（4.15）式给出。由此，经过时间 t 后，间隙原子沿 x 方 向移动的方均位移为： = ∑ − m N x N m dNmC 2 22 )2( 2 1 （4.21） 经过数学计算并代入（4.18）和（4.8）式，最终得到 tedvNdx TkEa B 2( ) 2 / 0 2 2 − == （4.22） 这就是由微观理论推导出来的方均位移的表达式。 另一方面，方均位移也可以由宏观扩散方程的解（4.15）式得到： ∫ ∞+ ∞− = = 2 2 2),( 1 Dtdxtxnx N x （4.23） 比较（4.22）和（4.23）可以得到： Ba TkE edvD 2 / 0 − = （4.24） 这个结果从理论上说明了扩散系数和温度的关系。比较上式和（4.17）式就看到 Q=Ea，这表明对于间隙原子，扩散激活能直接表示了原子跳跃的势垒高度。 晶体中的自扩散和替位式杂质原子的扩散问题更为复杂，这取决于扩散进行的机 制。一般认为，通过空位进行扩散是最常见的方式。按照这种运动形式，在格点上的原 子只有当一个空位出现在它周围的时候，它才有可能跳跃进这个空位从而移动一步，这 种情况下的跳跃率应该写成 Ba TkE ePvv / 0 − = （4.25） 这个公式的形式和前面间隙原子跳跃率相类似，只是增加了因子 P，用于表示邻近 格点为空位的几率。 如前所述，在一定的温度下，空位的平衡数目为 TkEu Nen B − / = 所以格点被空位占据的几率就等于 TkEu B e N n − / = 因此，在晶体的自扩散中，跳跃率（4.21）可以写成 Bua TkEE evv /)( 0 +− = （4.26） 据此，可以知道扩散系数 B 中kQ eDD / 0 − = 8