定理3.14 设σ1,σ2是Nc在其某个解释Ⅰ中的两个指派,a(t1,v2,…,tn) 是Nc的一个公式,其中:U1,v2,…,tn是Nc的个体变元符号, a(v,v2,…,tn)的自由变元符号都在t1,t,…,℃n中,若对任 意i:1≤i≤n,1(v)=02(v),则Ima当且仅当Iha 证:对公式a中所含的联结词与量词的个数d进行归纳证明. (1)当d=0时,a为原子公式,设a为F(t1,t2,…,tn), 其中:F为C的一个n元谓词变元符号,t,t2,…,tn是Nc 的项.由于a中没有量词,则在t;中出现的每个个体变元符号都是 a的自由变元(1≤≤m),从而在t;中出现的每个个体变元符号在 σ1与σ2下的指派的值相等,由定理3.13知:对任意讠:1≤≤n =增.从而Ia当且仅当rP"(t,t,……,t) 当且仅当<,t2,…,切>∈F 当且仅当<t2,t2,…,t>∈F 当且仅当ⅠF(t1,t2,…,tn 当且仅当I=a (2)假设命题对所有满足d<l的d成立,考察d=l时情形 (≥1) (21)当a为(③)时,由归纳假设知:aB当且仅当I6 从而Ia当且仅当B当且仅当B 当且仅当1B当且仅当I-B 当且仅当IC 3.14 % σ1, σ2 NL  a￾ I 5 - α(v1, v2, ··· , vn) NL   v1, v2, ··· , vn NL $ α(v1, v2, ··· , vn) $8$Q v1, v2, ··· , vn V: / i : 1 ≤ i ≤ n, σ1(vi) = σ2(vi), . I | σ1 α FMNF I | σ2 α E α Ijk#(l# d cJCDH  (1) F d = 0 / α 34% α  Fn(t1, t2, ··· , tn),  Fn  L  n #$ t1, t2, ··· , tn NL -89 α m#l#. ti D$Q α $8$ (1 ≤ i ≤ n), TU ti D$ σ1 ( σ2  -%78E> 3.13 ::/ i : 1 ≤ i ≤ n, t σ1 i = t σ2 i . TU I | σ1 α FMNF I | σ1 Fn(t1, t2, ··· , tn), FMNF < tσ1 1 , tσ1 2 , ··· , tσ1 n >∈ Fn , FMNF < tσ2 1 , tσ2 2 , ··· , tσ2 n >∈ Fn , FMNF I | σ2 Fn(t1, t2, ··· , tn), FMNF I | σ2 ‘ α. (2) %fKI#K2 d<l  d OPgh d = l /iL (l ≥ 1). (2.1) F α  (¬ β) /8CD%:I | σ1 β FMNF I | σ2 β. TU I | σ1 α FMNF I | σ1 ¬ β FMNF I | σ1 / β FMNF I | σ2 / β FMNF I | σ2 ¬ β FMNF I | σ2 α. 9