偏相关系数的求法记F(1…c)=E|n-∑cn 由定义它在 )…4(处取最小,所以,粗略地,(a,,…4)是方程组F 0(j=1,…,k) 的解(它们还有可能是局部极值点而非整体极小).这个方程组也就是 R(0)R(1) R(1) R(1)R(0) R(k-2)a2(|(2) R(k-1)R(k-2) R(0) R(k) 称为Yu|e-"aker方程由此可以解出第k个偏相关系数ax“'的理论值在实际情形,我们只 知道一段样本51…5N,由此可以先得到R()(j≤m)的估计R()(j≤m).再用它们来代替 上面计算第k个偏相关系数ak的Yue- .Walker方程中的R()(j≤k),得到的方程称为经验 Yule- Walker方程,它的解便是第k个偏相关系数∝k的估计∝k,称为经验偏相关系数 检查多项式1-a12-…-am12P-an2在二1有无零点在实践中是非常困难的通 常的方法在实用中既复杂且很难实际操作.因此,人们在拟合AR()模型时常常加上约束条件 ∑|a1|<1,以保证多项式1-a1 anP在|K1无零点这样就使估计参 数问题实际成为求解一个在约束条件下的最小值问题 偏相关系数的递推算法 由(11.10)利用归纳法,可以得到偏相关系数的递推算法:为此我们归纳地假定在k时已经 有了表达式.而对k+1情形,可以由k+1阶Yule- Walker方程定义如下递推方程 R(0)R(1) R(k) R(1) R(k-1)R(k-2) R(1) (k+1) R(k) R(k)R(k-1)…R(O)a+)(R(k+1) 递推地求解这个方程,就可得到{,(≤k+1)与{a/,(≤k间的递推关系 下面推导此方程的递推解法,注意此方程的系数是一个 Toeplitz矩阵,以 Toeplitz矩阵为系数的线性方程组 的解法是非常经典的.首先,我们把它改写为矩阵方程.记系数矩阵为Rk,它是对称的而且对于ARMA模型 易证它是正定的(作为习题)再记T为如下的k阶倒向算子: R(1) RO 于是对应的矩阵方程可写为 Tk rTR(Oa)」[R(k+1 也就是 292292 偏相关系数的 求 法 记 2 1 1 ( , , ) | å | = = - - k j k k n j n j F c L c E x c x . 由定义它在 ( , , ) ( ) ( ) 1 k k k a L a 处取最小, 所以，粗略地， ( , , ) ( ) ( ) 1 k k k a L a 是方程组: 0( j 1, , k) c F j k = = L ¶ ¶ 的解（它们还有可能是局部极值点而非整体极小）． 这个方程组也就是: ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ - - - - ( ) (2) (1) ( 1) ( 2) (0) (1) (0) ( 2) (0) (1) ( 1) ( ) ( ) 2 ( ) 1 R k R R R k R k R R R R k R R R k k k k k M M L M M M M L L a a a , (11. 10) 称为 Yule-Walker 方程. 由此可以解出第k 个偏相关系数 (k ) ak 的理论值. 在实际情形, 我们只 知道一段样本 N x , ,x 1 L , 由此可以先得到 R( j)( j £ m)的估计 ( )( ) ^ R j j £ m . 再用它们来代替 上面计算第 k 个偏相关系数 (k ) ak 的 Yule-Walker 方程中的 R( j)( j £ k) , 得到的方程称为经验 Yule-Walker 方程, 它的解便是第k 个偏相关系数 (k ) ak 的估计 ^ (k) ak , 称为经验偏相关系数. 检查多项式 p p p p - a z - - a z - a z - - 1 1 1 1 L 在| z |£ 1 有无零点, 在实践中是非常困难的. 通 常的方法在实用中既复杂且很难实际操作． 因此，人们在拟合 AR(p)模型时常常加上约束条件 | | 1 1 å < = p i i a ，以保证多项式 p p p p - a z - - a z - a z - - 1 1 1 1 L 在| z |£ 1 无零点. 这样就使估计参 数问题实际成为求解一个在约束条件下的最小值问题． 偏相关系数的递推算法 由(11. 10) 利用归纳法, 可以得到偏相关系数的递推算法：为此我们归纳地假定在k 时已经 有了表达式. 而对k +1情形，可以由k +1阶 Yule-Walker 方程定义如下递推方程 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ + = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ - - - + + + + ( 1) ( ) (1) ( ) ( 1) (0) ( 1) ( 2) (1) (0) (1) ( ) ( 1) 1 ( 1) ( 1) 1 R k R k R R k R k R R k R k R R R R k k k k k k M M L L M M L M L a a a ． 递推地求解这个方程，就可得到{ ,( 1)} ( 1) £ + + j k k a j 与{ ,( } ( ) j k k a j £ 间的递推关系． 下面推导此方程的递推解法．注意此方程的系数是一个 Toepliz 矩阵, 以 Toeolitz 矩阵为系数的线性方程组 的解法是非常经典的．首先, 我们把它改写为矩阵方程．记系数矩阵为 Rk , 它是对称的而且对于 ARMA 模型 易证它是正定的 (作为习题). 再记 Tk 为如下的k阶倒向算子： ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ = 1 1 Tk N , rk = ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ ( ) (1) R k R M , xk = ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - ( ) 1 ( ) 1 k k k a a M . 于是对应的矩阵方程可写为 ú û ù ê ë é + = ú û ù ê ë é ú û ù ê ë é + + + (0) ( 1) ( 1) 1 1 R k x r r T R R T r k k k k T k T k k k k a . 也就是