第十四章曲线积分、曲面积分与场论 习题14.1第一类曲线积分与第一类曲面积分 求下列第一类曲线积分 (1)j(x+y)d,其中L是以0()4(10.B(O)为顶点的三角形 (2)y,其中L为单位圆周x2+y2=1 (3)jxd,其中L为星形线x23+y23=a2 (4)j1xds,其中L为双纽线x2+y2)2=x2-y2 (5)j(x2+y2+=3)ds,L为螺旋线 x= a cos t,y=asin,z=b,0≤1≤2的一段: (6)Jxd。其中L为曲线x=4y==32,=+2上相应于从0 变到1的一段弧 (7)j(+y+2x)d,其中L为球面x2+y2+2=a和平面 x+y+z=0的交线。 解(1)∫(x+y)=(x+y)d+(x+y)ds+j(x+y)d =C+(x+xk+yh=1+√2。 (2)lyNds =5 sindt=4 (3)令x=acos3y=asin3,则d=3 asin cost,于是 4 sinl cos 12a3 2 sint cos tdt=4a 3 (4)将L表示为参数方程 x=√cos20cos0 再利用对称性,就有 20 sin e Jixlds =4J cos 20 cos /*+y d0=4 cos ede 注本题也可利用L的极坐标方程r2=cos20,得到 ∫xld=42 rcos0vr2+ra=4 coste=2。第十四章 曲线积分、曲面积分与场论 习 题 14.1 第一类曲线积分与第一类曲面积分 1. 求下列第一类曲线积分： (1) ∫ + ，其中 是以 L (x y)ds L O(0,0), A(1 0, ), B(0 1, )为顶点的三角形； (2) ∫ ，其中 为单位圆周 ； L | y | ds L 1 2 2 x + y = (3) ∫ ，其中 为星形线 ； L x ds 1/ 3 | | L 2 / 3 2 / 3 2 / 3 x + y = a (4) ∫ ，其中 为双纽线 ； L | x | ds L 2 2 2 2 2 (x + y ) = x − y (5) ∫ + + ， 为螺旋线 L (x y z )ds 2 2 2 L x a = = cost, y a sin t, z = bt, 0 ≤ t ≤ 2π 的一段： (6) ∫ 。其中L 为曲线 L xyzds 2 3 2 1 , 3 2 2 , z t t x = t y = = 上相应于 从 0 变到 1 的一段弧； t (7) ∫ + + ，其中 为球面 和平面 L (xy yz zx)ds L x y z a 2 2 2 + + = 2 x + y z + = 0的交线。 解（1）∫ ∫ ∫ ∫ + = + + + + + OA AB BO (x y)ds (x y)ds (x y)ds (x y)ds L ( ) 2 1 2 1 0 1 0 1 0 = + + + = + ∫ ∫ ∫ xdx x x dx ydy 。 （2） | | sin 4 2 0 = = ∫ ∫ π y ds t dt L 。 （3）令 x = a cos3 t, y = asin3 t ，则 ds = 3a sint cost ，于是 3 4 2 0 3 2 4 2 0 3 2 4 3 1 x ds 3a sin t cos t dt 12a sin t cos tdt 4a L = = = ∫ ∫ ∫ π π 。 （4）将L 表示为参数方程 cos 2 cos cos 2 sin x y θ θ θ θ ⎧⎪ = ⎨ ⎪⎩ = ，再利用对称性，就有 2 2 4 4 0 0 | x d| s 4 cos 2 cos x ' y ' d 4 cos d 2 2 π π = + θ θ θ = θ θ ∫ ∫ ∫ L = 。 注 本题也可利用L 的极坐标方程 2 r = cos 2θ ，得到 2 2 4 4 0 0 | x d| s 4 r cos r r d 4 cos d 2 2 π π = + θ θ ′ = θ θ ∫ ∫ ∫ L = 。 1