将有理数用直线上的点表示时,发现直线上还留有许许多多“孔隙”。我们用无理数来填 充这些“孔隙”,现在问题是这些“孔隙”是否被填满了,如果被填满了,对实数作分划时, 就不可能产生新的“数”,否则类似于有理数分划产生无理数一样,对实数分划还可得出新 的“数”。事实上,戴德金正是考虑怎么用严格的数学语言,给出有理数是不连通的、实数 是连通的定义,经反复研究,发现用“分划”的办法是最恰当地描述连通性的数学语言,对 有理数作“不空、不漏、不乱”的分划时,若下类无最大数,则上类也可以无最小数,所以 按定义有理数是不连通的:而对实数作“不空、不漏、不乱”的分划时,若下类无最大数 则上类必有最小数,所以按定义实数是连通的。下面我们严格的说明这一点 定义3把实数集R分成两个子集X、Y,使满足: 1)X、Y至少包含一个实数(不空) 2)每一实数或属于X,或属于Y(不漏) 3)任一属于X的实数,小于任一属于Y的实数(不乱); 4)X中无最大数(用到实数稠密性) 则称X、Y为实数的一个分划,记作(XF),X称分划的下类,Y称分划的上类。 戴德金定理(连通性)设(X|Y)为一实数分化,则y必有最小数 证明首先我们定义一实数。令 A={a|a∈A2x∈X}; 则(A|B)是一有理数的分划,为此要证它满足分划的四个条件。 )A的不空是显然的。证B不空。由Y不空,习y∈Y,又彐b∈B,有理数b一定 属于B。若不然,有b∈A,由A的定义,Bx∈X,b∈A,由关于实数的“小于关系” 的定义,知y<x,这与(X|Y)分划不乱矛盾,所以b∈B i)A、B满足不漏条件是显然的 ⅲi)证满足不乱条件。设a∈A,b∈B,要证a<b 假设不然,b≤a,由A定义,丑x∈X,a∈A2,更有b∈A2,因此b∈A,这与b∈B 矛盾,所以a<b iv)A无最大数也是明显的。 既然(A|B)是一有理数的分划,所以它为一实数,记作z=(A|B)。 其次证gX。假若不然,由X无最大数,丑x∈X,z<x,根据小于定义,彐有理 数c,使c∈A,c∈B.=B。由A的定义,c∈A,可是c∈B,故矛盾,所以gX 最后证∈Y且是Y的最小数。因(X|Y)不漏,所以z∈Y。假设z不是Y的最小数, 3y∈Y,y<z,彐有理数c,使c∈A.=A,c∈B,。190 将有理数用直线上的点表示时,发现直线上还留有许许多多“孔隙”。我们用无理数来填 充这些“孔隙”，现在问题是这些“孔隙”是否被填满了，如果被填满了，对实数作分划时， 就不可能产生新的“数”，否则类似于有理数分划产生无理数一样，对实数分划还可得出新 的“数”。事实上，戴德金正是考虑怎么用严格的数学语言，给出有理数是不连通的、实数 是连通的定义，经反复研究，发现用“分划”的办法是最恰当地描述连通性的数学语言，对 有理数作“不空、不漏、不乱”的分划时，若下类无最大数，则上类也可以无最小数，所以 按定义有理数是不连通的；而对实数作“不空、不漏、不乱”的分划时，若下类无最大数， 则上类必有最小数，所以按定义实数是连通的。下面我们严格的说明这一点。 定义 3 把实数集 R 分成两个子集 X 、Y ，使满足： 1） X 、Y 至少包含一个实数（不空）； 2） 每一实数或属于 X ，或属于Y （不漏）； 3） 任一属于 X 的实数，小于任一属于Y 的实数（不乱）； 4） X 中无最大数（用到实数稠密性）。 则称 X 、Y 为实数的一个分划，记作(X |Y ) ， X 称分划的下类，Y 称分划的上类。 戴德金定理（连通性） 设(X |Y ) 为一实数分化，则Y 必有最小数。 证明 首先我们定义一实数。令 A { a | a A , x X } = Î x Î ； B = Q- A 。 则(A | B) 是一有理数的分划，为此要证它满足分划的四个条件。 ⅰ） A 的不空是显然的。证 B 不空。由Y 不空，$y ÎY ，又 By $b Î ，有理数b 一定 属于 B 。若不然，有bÎ A，由 A 的定义，$x Î X ，bÎ Ax ，由关于实数的“小于关系” 的定义，知 y < x ，这与(X |Y ) 分划不乱矛盾，所以bÎ B 。 ⅱ） A 、 B 满足不漏条件是显然的； ⅲ） 证满足不乱条件。设a Î A，bÎ B ，要证a < b。 假设不然，b £ a，由 A 定义，$x Î X ，a Î Ax ，更有 bÎ Ax ，因此bÎ A，这与bÎ B 矛盾，所以a < b。 ⅳ） A 无最大数也是明显的。 既然(A | B) 是一有理数的分划，所以它为一实数，记作 z = (A| B) 。 其次证 z Ï X 。假若不然，由 X 无最大数，$x Î X ， z < x ，根据小于定义，$有理 数c ，使 Ax c Î ，c Î Bz = B 。由 A 的定义，c Î A，可是c Î B，故矛盾，所以 z Ï X 。 最后证 z ÎY 且是Y 的最小数。因 (X |Y ) 不漏，所以 z ÎY 。假设 z 不是Y 的最小数， $y ÎY ， y < z ，$有理数c ，使c Î Az = A， By c Î