§6子空间的交与和 定理5如果V,V2是线性空间V的两个子空间,那么它们的交V∩V2也是 的子空间. 由集合的交的定义有,子空间的交适合下列运算规律 V∩v2=V2∩v(交换律) (∩v2)∩v3=V∩(2∩v3)(结合律) 由结合律,可以定义多个子空间的交 nn2n…nv=U 它也是子空间. 定义8设V1,V2是线性空间V的子空间,所谓V与V2的和,是指由所有能 表示成a1+a2,而a1∈V1,a2∈V2的向量组成的子集合,记作V+V2 定理6如果V1,V2是线性空间V的子空间,那么它们的和V+V2也是V的子 空间 由定义有,子空间的和适合下列运算规律: V+V2=V2+V(交换律), (V1+V2)+V3=V+(2+V3)(结合律) 由结合律,可以定义多个子空间的和 V+2+…+V 它是由所有表示成 a1+a2+…+a,a1∈V(=1,2,…,s) 的向量组成的子空间. 关于子空间的交与和有以下结论 1.设VV2W都是子空间,那么由WcV与WcV2可推出WcV∩V2;而 由W与WV2可推出W=V+V2§6 子空间的交与和 定理 5 如果 V1 ,V2 是线性空间 V 的两个子空间，那么它们的交 V1 V2 也是 V 的子空间. 由集合的交的定义有，子空间的交适合下列运算规律： V1 V2 =V2 V1 (交换律)， ( ) ( ) V1 V2 V3 =V1  V2 V3 （结合律）. 由结合律，可以定义多个子空间的交：    s i V V Vs Vi 1 1 2 = = , 它也是子空间. 定义 8 设 V1 ,V2 是线性空间 V 的子空间，所谓 V1 与 V2 的和，是指由所有能 表示成 1 + 2 ,而 1 1 2 2  V , V 的向量组成的子集合，记作 V1 +V2 . 定理 6 如果 V1 ,V2 是线性空间 V 的子空间，那么它们的和 V1 +V2 也是 V 的子 空间. 由定义有，子空间的和适合下列运算规律： V1 +V2 =V2 +V1 (交换律)， ( ) ( ) V1 +V2 +V3 =V1 + V2 +V3 （结合律）. 由结合律，可以定义多个子空间的和 = + + + = s i V V Vs Vi 1 1 2  . 它是由所有表示成 , ( 1, 2 , , ) 1 2 V i s  + ++ s i  i =  的向量组成的子空间. 关于子空间的交与和有以下结论： 1. 设 V1 ,V2 ,W 都是子空间，那么由 W V1 与 W V2 可推出 W V1 V2 ；而 由 W  V1 与 W V2 可推出 W V1 +V2