y=sin(1/x) 第一类间断点 第二类间断点 例 x为有理数 (i) f(x) 0,x为无理数 x=0是连续点,其余都是第二类间断点。 (ⅱi) f(x) x=1是可去间断点。 x≠ 1g-,x≠0, )f(x) x=0是第一类间断点。 0.x=0 x≠ (iv) f(x)=x x=0是第二类间断点 ()m()Jx≠0,x=0是第二类间断点。 1,x为有理数, (ⅵi) Dirichlet函数D(x)= 0,x为无理数。 每一点都是第二类间断点 为有理数 (ⅶ) Riemann I函数R(x)={q 所有有理点为可去 0,x为无理数。 间断点,无理点为连续点。 定义若f(x)在区间上每一点连续(闭区间情况端点单侧连续),则称函数在区间上 连续 定理f(x)在(a,b)上单调,则f(x)只有第一类间断点。 证无妨设f(x)在(a,b)单调上升,vxo∈(a,b),当x→>x0-0时,函数值∫(x)单51 第一类间断点 第二类间断点 例 （ⅰ） î í ì = 。 ， 为无理数 为有理数 x x x f x 0, , ( ) x = 0是连续点，其余都是第二类间断点。 （ⅱ） î í ì ¹ = = 1, 1 2, 1 ( ) x x f x x =1是可去间断点。 （ⅲ） ï î ï í ì = ¹ = 0 , 0. , 0, 1 ( ) x x x arctg f x x = 0是第一类间断点。 （ⅳ） ï î ï í ì = ¹ = 0 , 0. , 0, 1 ( ) x x f x x x = 0是第二类间断点。 （ⅴ） ï î ï í ì = ¹ = 0 , 0. , 0, 1 sin ( ) x x f x x x = 0是第二类间断点。 （ⅵ） Dirichlet 函数 î í ì = ， 。 ， 为无理数 为有理数 x x D x 0 1, ( ) 每一点都是第二类间断点。 （ⅶ） Riemann 函数 ï î ï í ì = = ， 。 ， 为无理数 为有理数 x q p x R x q 0 , 1 ( ) 所有有理点为可去 间断点，无理点为连续点。 定义 若 f (x) 在区间上每一点连续（闭区间情况端点单侧连续），则称函数在区间上 连续。 定理 f (x) 在(a, b)上单调，则 f (x) 只有第一类间断点。 证 无妨设 f (x) 在(a, b)单调上升， ( , ) " x0 Î a b ，当 x ® x0 - 0 时，函数值 f (x) 单 f(x ) f(x0 -0) f(x 0 +0) y=sin(1/x)