First derive the general formulas for ox, ay, oz in terms of r, e, and and Or, 80 and ao in terms of x,y, and z. The general relationships are as follows x=r Sine Coso r2=x2+y2+z y=r Sine Sino sine= z=r Cose x2+y2+z2 First ax, ay, and az from the chain rule a ar a a0 a az =az 0 第+a Evaluation of the many "coefficients"gives the following Cose cose(φ Sine cosφ Cose Sind ap Sine sinφ Cose and 66 3. First derive the general formulas for ¶ ¶x , ¶ ¶y , ¶ ¶z in terms of r,q, and f, and ¶ ¶r , ¶ ¶q , and ¶ ¶f in terms of x,y, and z. The general relationships are as follows: x = r Sinq Cosf r 2 = x2 + y2 + z2 y = r Sinq Sinf sinq = x2 + y2 x2 + y2 + z2 z = r Cosq cosq = z x2 + y2 + z2 tanf = y x First ¶ ¶x , ¶ ¶y , and ¶ ¶z from the chain rule: ¶ ¶x = è ç æ ø ÷ ¶rö ¶x y,z ¶ ¶r + è ç æ ø ÷ ¶qö ¶x y,z ¶ ¶q + è ç æ ø ÷ ¶fö ¶x y,z ¶ ¶f , ¶ ¶y = è ç æ ø ÷ ¶rö ¶y x,z ¶ ¶r + è ç æ ø ÷ ¶qö ¶y x,z ¶ ¶q + è ç æ ø ÷ ¶fö ¶y x,z ¶ ¶f , ¶ ¶z = è ç æ ø ÷ ¶rö ¶z x,y ¶ ¶r + è ç æ ø ÷ ¶qö ¶z x,y ¶ ¶q + è ç æ ø ÷ ¶fö ¶z x,y ¶ ¶f . Evaluation of the many "coefficients" gives the following: è ç æ ø ÷ ¶rö ¶x y,z = Sinq Cosf , è ç æ ø ÷ ¶qö ¶x y,z = Cosq Cosf r , è ç æ ø ÷ ¶fö ¶x y,z = - Sinf r Sinq , è ç æ ø ÷ ¶rö ¶y x,z = Sinq Sinf , è ç æ ø ÷ ¶qö ¶y x,z = Cosq Sinf r , è ç æ ø ÷ ¶fö ¶y x,z = Cosf r Sinq , è ç æ ø ÷ ¶rö ¶z x,y = Cosq , è ç æ ø ÷ ¶qö ¶z x,y = - Sinq r , and è ç æ ø ÷ ¶fö ¶z x,y = 0