8 第二章单纯形法 任取一非基变量xk,令k=9≥0，xk以外的非基变量为0.则得如下解X: x=/-a{.0 =品-2 (2.14) Im =bin -am.ko =0 取0>0充分小，则可使得”，，”≥0，即现行解X”仍然为可行解此可行解对应的 目标函数值为=和+(C-)0.因为ck一<0，所以=0+(一)0<0.可见 X中任一非基变量进入基后，都将使得目标函数值减小，从而现行解为最优解 (②).由最优检验准则知，X'为最优解由()的证明可知，取4=6>0充分小，则 可使得X"仍然为可行解.因为c-=0,所以z”=0+(C一2)8=0.可见存在另 可行解X”与最优解X'有相同的目标值，即x“也是最优解、易证对任意的0≤a≤1 X=aX'+(1-a)X”仍为原问题的最优解，从而原问题有无穷多组最优解. (3.不妨设基本可行解X'的基变量为x1,x2,,xm,则对应的典式为(1.13).令非 基变量x以 0>0,x以外的非基变量为0，则得(1.14.因为(a1k,2, 由式(1.14)知任意xk=0>0,都使得1, 4药防幸花好 对应的目标函数值为2=0+(ck-4)9.因 ,4>0,所以2=20+(c-2)9> ·可见k能无限制的增加而不影响问 题的可行性，目标函数的值也随着(C:一2)9而无限制的增加，因此原问题有无限界解、· 三、基可行解的改进 如果典式的目标函数中非基变量的系数即非基变量的检验数中至少有一个大于零不 妨设非 基变量xk的检验数k-CBB-1P>0,且B1B中至少有一个分量大于零.由最 优检验准则得知，当前的基本可行解还不是最优解，此时需要对基本可行解改进，以便得 到另一个较优的基本可行解 改进基本可行解的方法是在非基变量中选择一个变址让它变为基变量（称为换人变 量)，再从原基变量中选择一个变量（称为换出变量），让它变为非基变量，得到一个新的基 本可行解 1,人量的确定 选择换入变量的基本原则是将变量换入后，得到一组使得目标函数较优的新的基本 可行解由最优检验准则的证明可知，选择检验数满足 c-CBB-1>0,且B-1P至少有一分量大于0 的非基变量xk进入基后，将使得目标函数的值增加.可见当非基变量k的检验数为大于 零的数时，将其换入可使得目标函数的值增加，此时可选择该非基变量为换入变量 一般选择换入变量的原则是选择检验数最大的那个非基变量在用计算机解线性规 划问题时，依次计算每个变量的检验数，第一个使得检验数大于0的那个非基变量就被选 择为换入变量.这样就不必将全部检验数计算出来后再选择最大的检验数，从而减少迭代 时间 8 Ü☎Ý☎Þß♣☎q☎r❤s ❿☎➠☎✾☎➬☎✭☎➂☎➃ xk, ➊ xk = θ ≥ 0,xk ❛☎à❀☎➬☎✭☎➂☎➃☎✴ 0. ✹☎❴☎❙☎➳☎✱ X00:    x 00 1 = b 0 1 − a 0 l,kθ x 00 2 = b 0 2 − a 0 2,kθ . . . . . . x 00 m = b 0 m − a 0 m,kθ x 00 k = θ (2.14) ➠ θ > 0 á☎â☎ã, ✹☎✯☎ä☎❴ x 00 1 , . . . , x 00 m ≥ 0, ➭☎❪☎✰☎✱ X00 å➧ ✴☎✯☎✰☎✱. ➨✯☎✰☎✱☎✇☎➯☎❀ ➹ t☎➴☎➷☎æ✴ z 0 = z0 + (ck − zk)θ. ç☎✴ ck − zk < 0, ❐ ❛ z 0 = z0 + (ck − zk)θ < z0. ✯☎è X0 ➅❥❿☎✾☎➬☎✭☎➂☎➃☎é☎ê☎✭☎➔, ➛☎ë☎ä☎❴➘➹ t☎➴☎➷☎æ☎ìã, í☎î☎❪☎✰☎✱☎✴☎✵☎✶☎✱. (2). ï❥✵☎✶☎❬☎❭☎❩☎✹☎ð, X0 ✴☎✵☎✶☎✱. ï (1) ❀☎ñ❤❣❥✯☎ð, ➠ xk = θ > 0 á☎â☎ã, ✹ ✯☎ä☎❴ X00 å➧ ✴☎✯☎✰☎✱. ç☎✴ ck − zk = 0, ❐ ❛ z 00 = z0 + (ck − zk)θ = z0. ✯☎è☎❊☎❋☎✽ ✾ò✯ò✰ò✱ X00 ó✵ò✶ò✱ X0 ❒òôòõò❀ö➹ tòæ, ➭ X00 ÷✲ò✵ò✶ò✱. ➤òñò✇ò❿ò➀ò❀ 0 ≤ α ≤ 1, X = αX0 + (1 − α)X00 å✴➫ ◗☎❘☎❀☎✵☎✶☎✱☎ø⑤í☎î➫ ◗☎❘☎❒☎❰☎Ï☎Ð☎➥☎✵☎✶☎✱. (3). ✸☎Ú☎Û☎✭☎✮☎✯☎✰☎✱ X0 ❀☎✭☎➂☎➃☎✴ x1, x2, . . . , xm, ✹☎✇☎➯☎❀☎➲☎➒☎✴ (1.13). ➊☎➬ ✭☎➂☎➃ xk = θ > 0,xk ❛☎à❀☎➬☎✭☎➂☎➃☎✴ 0, ✹☎❴ (1.14). ç☎✴ (a1,k, a2,k, . . . , am,k) T ≤ 0, ï❥➒ (1.14) ð☎❿☎➀ xk = θ > 0, ➛☎ä☎❴ x1, . . . , xm ≥ 0, ➭☎❪☎✰☎✱å➧ ✴☎✯☎✰☎✱. ➨✯☎✰☎✱ ✇☎➯☎❀➘➹ t☎➴☎➷☎æ✴ z 0 = z0 + (ck − zk)θ. ç ✴ ck − zk > 0, ❐ ❛ z 0 = z0 + (ck − zk)θ > z0. ✯☎è xk ❾☎❰☎Ö☎ù☎❀☎ú☎➜☎î☎✸☎û☎ü☎◗ ❘☎❀☎✯☎✰☎❻, ➹ t☎➴☎➷❀æ÷☎ý☎þ (ck − zk)θ î☎❰☎Ö☎ù☎❀☎ú☎➜, ç➨☎➫◗☎❘☎❒☎❰☎Ö☎×☎✱. ÿ③⑤⑨☎❶☎❷☎❸✁￾✁✂✁✄ ❙✆☎ò➲ò➒ò❀ö➹ tò➴ò➷➅➬ò✭ò➂ò➃ò❀ò➱➷ ➭ò➬ò✭ò➂ò➃ò❀ò❬ò❭➷ ➅✞✝✆✟ò❒ò✾òPÑòÒòÓ, ✸ Ú☎Û☎➬ ✭☎➂☎➃ xk ❀☎❬☎❭➷ ck − CBB−1Pk > 0, ❮ B−1Pk ➅✠✝✁✟☎❒☎✾☎P☎â☎➃Ñ☎Ò☎Ó. ï❥✵ ✶✁❬✁❭✁❩✁✹✁❴✁ð, ✡☞☛✁❀✁✭✁✮✁✯✁✰✁✱☞✌✁✸✁✲✁✵✁✶✁✱, ➨✁➩▲✁▼✇✁✭✁✮✁✯✁✰✁✱☞✍✁é, ❛☞✎❴ ✼☎✽☎✾☎P✁✏☎✶☎❀☎✭☎✮☎✯☎✰☎✱. ✍☎é☎✭☎✮☎✯☎✰☎✱☎❀☎➣☎♠☎✲☎❋☎➬☎✭☎➂☎➃❤➅❥➈☎➉☎✾☎P☎➂☎➃, ✑✁✒☎➂☎✴☎✭☎➂☎➃ (❱☎✴✁✓✁✔✁✕ ✖ ), ✗☎í➫ ✭☎➂☎➃❤➅❥➈☎➉☎✾☎P☎➂☎➃ (❱☎✴✘✓✁✙✁✕✖ ), ✑✁✒☎➂☎✴☎➬☎✭☎➂☎➃, ❴☎✼☎✾☎P☎❵☎❀☎✭ ✮☎✯☎✰☎✱. 1. ✓✁✔✁✕✖￾☎④☎⑥ ➈✁➉☞✚✁ê✁➂✁➃✁❀✁✭✁✮➫ ✹✁✲✁ë✁➂✁➃☞✚✁ê✁➔, ❴✁✼✁✾✁➥✁ä✁❴ ➹ t✁➴✁➷✏✁✶✁❀✁❵✁❀✁✭✁✮ ✯☎✰☎✱. ï❥✵☎✶☎❬☎❭☎❩☎✹☎❀☎ñ❤❣❥✯☎ð, ➈☎➉☎❬☎❭➷☎✉☎✈ ck − CBB −1Pk > 0, ❮ B −1Pk✝✁✟☎❒☎✾☎â☎➃Ñ☎Ò 0 ❀☎➬☎✭☎➂☎➃ xk é☎ê☎✭☎➔, ë☎ä☎❴➘➹ t☎➴☎➷❀æ ú☎➜. ✯☎è✁✡☎➬☎✭☎➂☎➃ xk ❀☎❬☎❭➷ ✴Ñ☎Ò Ó ❀➷➩ , ë✁✛✁✚☎ê☎✯☎ä☎❴➘➹ t☎➴☎➷❀æ ú☎➜, ➨☎➩✯☎➈☎➉☎✬☎➬☎✭☎➂☎➃☎✴✁✚☎ê☎➂☎➃. ✾☞✜✁➈✁➉☞✚✁ê✁➂✁➃✁❀➫ ✹✁✲✁➈✁➉✁❬✁❭➷ ✵Ñ ❀☞✢✁P✁➬✁✭✁➂✁➃. ❋☞✣☞✤☞✥☞✦✁✱✁❺✁❻✁❼ ❽☎◗☎❘➩ , ✧✁★✁✤✁✥☎→☎P☎➂☎➃☎❀☎❬☎❭➷ , ❯☎✾☎P☎ä☎❴☎❬☎❭➷☎Ñ☎Ò 0 ❀✁✢☎P☎➬☎✭☎➂☎➃✁✩✁✪☎➈ ➉☎✴✁✚☎ê☎➂☎➃. ❍☎■✩☎✸✁✫☎ë☎➑☎✃☎❬☎❭➷ ✤✁✥✁✬✁✭☎➔✁✗☎➈☎➉☎✵Ñ ❀☎❬☎❭➷ , í☎îì ✟✁✮✁✯ ➩✁✰