第三章几何造型技术 几何造型技术是一项研究在计算机中,如何表达物体模型形状的技术。它从诞生到现在,仅仅经历了三十多年 的发展历史,由于几何造型技术研究的迅速发展和计算机硬件性能的大幅度提高,已经出现了许多以几何造型作为 核心的实用化系统,在航空航天、汽车、造船、机械、建筑和电子等行业得到了广泛的应用。 在几何造型系统中,描述物体的三维模型有三种,即线框模型、表面模型和实体模型。线框模型是计算机图形 学和CAD/CAM领域最早用来表示物体的模型,计算机绘图是这种模型的一个重要应用。线框模型用顶点和棱边来表 示物体,由于没有面的信息,它不能表示表面含有曲面的物体:另外,它不能明确地定义给定点与物体之间的关系 点在物体内部、外部或表面上),所以线框模型不能处理许多重要问题,如不能生成剖切图、消隐图、明暗色彩 图,不能用于数控加工等,应用范围受到了很大的限制。 面模型在线框模型的基础上,增加了物体中面的信息,用面的集合来表示物体,而用环来定义面的边界。表 面模型扩大了线框模型的应用范围,能够满足面面求交、线面消隐、明暗色彩图、数控加工等需要。但在该模型中, 只有一张张面的信息,物体究竟存在于表面的哪一侧,并没有给出明确的定义,无法计算和分析物体的整体性质 如物体的表面积、体积、重心等,也不能将这个物体作为一个整体去考察它与其它物体相互关联的性质,如是否相 交等。 实体模型是最高级的模型,它能完整表示物体的所有形状信息,可以无歧义地确定一个点是在物体外部、内部 或表面上,这种模型能够进一步满足物性计算、有限元分析等应用的要求。 虽然三维表面模型表示三维物体的信息并不完整,但它能够表达复杂的雕刻曲面,在几何造型中具有重要的地 位,对于支持曲面的三维实体模型,表面模型是它的基础,本章将主要介绍有关表面和实体的造型技术 曲线曲面 3.2实体在计算机内的表示 实体造型系统简介 3.1参数曲线和曲面 如何表示象飞机、汽车、轮船等具有复杂外形产品的表面是工程中必须解决的问题。1963年美国波音(Boei 飞机公司的佛格森( Ferguson)最早引入参数三次曲线,将曲线曲面表示成参数矢量函数形式,构造了组合曲线和 由四角点的位置矢量、两个方向的切矢定义的佛格森双三次曲面片。1964年,美国麻省理工学院(MIT)的孔斯 ( Coons)用封闭曲线的四条边界定义一张曲面。同年,舍恩伯格( Schoenberg)提出了参数样条曲线、曲面的形 式。1971年,法国雷诺( Renault)汽车公司的贝塞尔( Bezier)发表了一种用控制多边形定义曲线和曲面的方法 同期,法国雪铁龙( Citroen)汽车公司的德卡斯特里奥( de casteli jau)也独立地研究出与 Bezier类似的方法 1972年,德布尔( de boor)给出了B样条的标准计算方法。1974年,美国通用汽车公司的戈登( Gorden)和里森 费尔德( Riesenfeld)将B样条理论用于形状描述,提出了B样条曲线和曲面。1975年,美国锡拉丘兹( Syracuse) 大学的佛斯普里尔( Verspril1)提出了有理B样条方法。80年代后期皮格尔( Piegl)和蒂勒( Tiller)将有理 样条发展成非均匀有理B样条方法,并已成为当前自由曲线和曲面描述的最广为流行的技术 3.1.1曲线曲面参数表示的基础知识 曲线、曲面可以用显 式和参数表示,由于参数表示的曲线、曲面具有几何不变性等优点,计算机图形学 中通常用参数形式描述曲线、曲面,本小节讨论一些参数曲线和曲面表示的基础知识。 3.1.1.1显式、隐式和参数表示 曲线和曲的表示面方程有参数表示和非参数表示之分,非参数表示又分为显式表示和隐式表示。 对于一个平面曲线,显式表示一般形式是:y=f(x)。在此方程中,一个x值与一个y值对应,所以显式方程 不能表示封闭或多值曲线,例如,不能用显式方程表示一个圆 如果一个平面曲线方程,表示成f(x,y)=0的形式,我们称之为隐式表示。隐式表示的优点是易于判断函数 f(x,y)是否大于、小于或等于零,也就易于判断点是落在所表示曲线上或在曲线的哪一侧 对于非参数表示形式方程(无论是显式还是隐式)存在下述问题: 与坐标轴相关 会出现斜率为无穷大的情形(如垂线) 对于非平面曲线、曲面,难以用常系数的非参数化函数表示 不便于计算机编程。 在几何造型系统中,曲线曲面方程 示成参数的形式,即曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数。 假定用t表示参数,平面曲线上任一点P可表示为: P(t)=[x(t),y(t)] 空间曲线上任一三维点P可表示为 P(t)=[x(t),y(t),z(t)] 最简单的参数曲线是直线段,端点为P1、P2的直线段参数方程可表示为: P(t)=P1+(P2-P1)tt∈[0,1] 计算机图形学第三章(1)第47页共29页计算机图形学 第三章(1) 第 47 页 共 29 页 第三章 几何造型技术 几何造型技术是一项研究在计算机中，如何表达物体模型形状的技术。它从诞生到现在，仅仅经历了三十多年 的发展历史，由于几何造型技术研究的迅速发展和计算机硬件性能的大幅度提高，已经出现了许多以几何造型作为 核心的实用化系统，在航空航天、汽车、造船、机械、建筑和电子等行业得到了广泛的应用。 在几何造型系统中，描述物体的三维模型有三种，即线框模型、表面模型和实体模型。线框模型是计算机图形 学和 CAD/CAM 领域最早用来表示物体的模型，计算机绘图是这种模型的一个重要应用。线框模型用顶点和棱边来表 示物体，由于没有面的信息，它不能表示表面含有曲面的物体；另外，它不能明确地定义给定点与物体之间的关系 （点在物体内部、外部或表面上），所以线框模型不能处理许多重要问题，如不能生成剖切图、消隐图、明暗色彩 图，不能用于数控加工等，应用范围受到了很大的限制。 表面模型在线框模型的基础上，增加了物体中面的信息，用面的集合来表示物体，而用环来定义面的边界。表 面模型扩大了线框模型的应用范围，能够满足面面求交、线面消隐、明暗色彩图、数控加工等需要。但在该模型中， 只有一张张面的信息，物体究竟存在于表面的哪一侧，并没有给出明确的定义，无法计算和分析物体的整体性质， 如物体的表面积、体积、重心等，也不能将这个物体作为一个整体去考察它与其它物体相互关联的性质，如是否相 交等。 实体模型是最高级的模型，它能完整表示物体的所有形状信息，可以无歧义地确定一个点是在物体外部、内部 或表面上，这种模型能够进一步满足物性计算、有限元分析等应用的要求。 虽然三维表面模型表示三维物体的信息并不完整，但它能够表达复杂的雕刻曲面，在几何造型中具有重要的地 位，对于支持曲面的三维实体模型，表面模型是它的基础，本章将主要介绍有关表面和实体的造型技术。 3.1 曲线曲面 3.2 实体在计算机内的表示 3.3 求交分类 3.4 实体造型系统简介 3.1 参数曲线和曲面 如何表示象飞机、汽车、轮船等具有复杂外形产品的表面是工程中必须解决的问题。1963 年美国波音（Boeing） 飞机公司的佛格森（Ferguson）最早引入参数三次曲线，将曲线曲面表示成参数矢量函数形式，构造了组合曲线和 由四角点的位置矢量、两个方向的切矢定义的佛格森双三次曲面片。1964 年，美国麻省理工学院（MIT）的孔斯 （Coons）用封闭曲线的四条边界定义一张曲面。同年，舍恩伯格（Schoenberg）提出了参数样条曲线、曲面的形 式。1971 年，法国雷诺（Renault）汽车公司的贝塞尔（Bezier）发表了一种用控制多边形定义曲线和曲面的方法。 同期，法国雪铁龙（Citroen）汽车公司的德卡斯特里奥（de Castelijau）也独立地研究出与 Bezier 类似的方法。 1972 年，德布尔（de Boor）给出了 B 样条的标准计算方法。1974 年，美国通用汽车公司的戈登（Gorden）和里森 费尔德（Riesenfeld）将 B 样条理论用于形状描述，提出了 B 样条曲线和曲面。1975 年，美国锡拉丘兹（Syracuse） 大学的佛斯普里尔（Versprill）提出了有理 B 样条方法。80 年代后期皮格尔（Piegl）和蒂勒（Tiller）将有理 B 样条发展成非均匀有理 B 样条方法，并已成为当前自由曲线和曲面描述的最广为流行的技术。 3.1.1 曲线曲面参数表示的基础知识 曲线、曲面可以用显式、隐式和参数表示，由于参数表示的曲线、曲面具有几何不变性等优点，计算机图形学 中通常用参数形式描述曲线、曲面，本小节讨论一些参数曲线和曲面表示的基础知识。 3.1.1.1 显式、隐式和参数表示 曲线和曲的表示面方程有参数表示和非参数表示之分，非参数表示又分为显式表示和隐式表示。 对于一个平面曲线，显式表示一般形式是：y=f（x）。在此方程中，一个 x 值与一个 y 值对应，所以显式方程 不能表示封闭或多值曲线，例如，不能用显式方程表示一个圆。 如果一个平面曲线方程，表示成 f（x，y）=0 的形式，我们称之为隐式表示。隐式表示的优点是易于判断函数 f（x，y）是否大于、小于或等于零，也就易于判断点是落在所表示曲线上或在曲线的哪一侧。 对于非参数表示形式方程（无论是显式还是隐式）存在下述问题： 1. 与坐标轴相关； 2. 会出现斜率为无穷大的情形（如垂线）； 3. 对于非平面曲线、曲面，难以用常系数的非参数化函数表示； 4. 不便于计算机编程。 在几何造型系统中，曲线曲面方程通常表示成参数的形式，即曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数。 假定用 t 表示参数，平面曲线上任一点 P 可表示为： P(t)=[x(t), y(t)]； 空间曲线上任一三维点 P 可表示为： P(t)=[x(t), y(t), z(t)]； 最简单的参数曲线是直线段，端点为 P1、P2 的直线段参数方程可表示为： P(t)=P1+(P2-P1)t t∈[0, 1];