园在计算机图形学中应用十分广泛,其在第一象限内的单位圆弧的非参数显式表示为: y (0≤x≤1) 其参数形式可表示为 [0,] 在曲线、曲面的表示上,参数方程比显式、隐式方程有更多的优越性,主要表现在: (1)可以满足几何不变性的要求。 (2)有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。如一条二维三次曲线的显式表示为: y=ax+bx +cx +d 只有四个系数控制曲线的形状。而二维三次曲线的参数表达式为 P(e a,t3+a. +ayt+a4 t∈[0, 有8个系数可用来控制此曲线的形状 (3)对非参数方程表示的曲线、曲面进行变换,必须对曲线、曲面上的每个型值点进行几何变换:而对参数表示 的曲线、曲面可对其参数方程直接进行几何变换 (4)便于处理斜率为无穷大的情形,不会因此而中断计算。 (5)参数方程中,代数、几何相关和无关的变量是完全分离的,而且对变量个数不限,从而便于用户把低维空间 中曲线、曲面扩展到高维空间去。这种变量分离的特点使我们可以用数学公式处理几何分量 (6)规格化的参数变量t∈[0.1],使其相应的几何分量是有界的,而不必用另外的参数去定义边界 (7)易于用矢量和矩阵表示几何分量,简化了计算 3.1.1.2位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和率 一条用参数表示的三维曲线是一个有界点集,可写成一个带参数的、连续的、单值的数学函数,其形式为 x=x(t),y=y(t),z=z(t),0≤t≤1 位置矢量 如图3.1.1所示,曲线上任一点的位置矢量可表示为:P(t)=[x(t),y(t),z(t)]: 其一阶、二阶和k阶导数矢量(如果存在的话)可分别表示为: dp P() dt p()=2P d P P(0) P(1) Rk△s P(0)4 t=0 图3.1.1表示一条参数曲线的有关矢量 切矢量 计算机图形学第三章(1)第48页共29页计算机图形学 第三章(1) 第 48 页 共 29 页 圆在计算机图形学中应用十分广泛，其在第一象限内的单位圆弧的非参数显式表示为： 其参数形式可表示为： 在曲线、曲面的表示上，参数方程比显式、隐式方程有更多的优越性，主要表现在： （1）可以满足几何不变性的要求。 （2）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。如一条二维三次曲线的显式表示为： 只有四个系数控制曲线的形状。而二维三次曲线的参数表达式为： 有 8 个系数可用来控制此曲线的形状。 （3）对非参数方程表示的曲线、曲面进行变换，必须对曲线、曲面上的每个型值点进行几何变换；而对参数表示 的曲线、曲面可对其参数方程直接进行几何变换。 （4）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算。 （5）参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，而且对变量个数不限，从而便于用户把低维空间 中曲线、曲面扩展到高维空间去。这种变量分离的特点使我们可以用数学公式处理几何分量。 （6）规格化的参数变量 t∈[0, 1]，使其相应的几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义边界。 （7）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。 3.1.1.2 位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率 一条用参数表示的三维曲线是一个有界点集，可写成一个带参数的、连续的、单值的数学函数，其形式为： x=x（t），y=y（t），z=z（t），0≤t≤1； 1. 位置矢量 如图 3.1.1 所示，曲线上任一点的位置矢量可表示为：P(t)=[x(t), y(t), z(t)]； 其一阶、二阶和 k 阶导数矢量（如果存在的话）可分别表示为： 2. 切矢量