若曲线上R、Q两点的参数分别是t和才盘,矢量△P=P(+△)-P(),其大小以连接RQ的弦长表示 如果在R处有确定的切线,则当Q趋向于R,即→0时,导数矢量趋向于该点的切线方向。如选择弧长s作为 dP 参数,则ds4+0△是单位切矢量。因为,根据弧长微分公式有: (a)2=(ax)2+(4y)2+(a)2 引入参数t,上式可改写为 (a4)-(x)+()+(an)2-lpof 考虑到矢量的模非负,所以 dt F20 故弧长s是t的单调增函数,其反函数t(s)存在,且一一对应,得 P()=P(t(s)=P(s) 于是 dpdp dt P(t) 即T是单位切矢量。 对于空间参数曲线任意一点,所有垂直切矢量T的矢量有一束,且位于同一平面上,该平面称为法平面,如图 3.1.2所示 法平面 面 主法线 密切面 图3.1.2曲线的法矢 若对曲线上任一点的单位切矢为工,因为()-1,两边对s求导矢得,27(,()-0,可见函是 个与T垂直的矢量。与as平行的法矢称为曲线在该点的主法矢,主法矢的单位矢量称为单位主法矢量,记为N 矢量积B=XN是第三个单位矢量,它垂直于T和N。把平行于矢量B的法矢称为曲线的副法矢,B则称为单位 副法失量。 对于一般参数t,我们可以推导出: B=P(t)x P(t) P(t)xP"(圳 (P(t)x pu(+x p(t (P(t)xP(t)xP(圳 T(切矢)、N(主法矢)和B(副法矢)构成了曲线上的活动坐标架,且N、B构成的平面称为法平面,N、T构成的平面 称为密切平面,B、T构成的平面称为从切平面 曲率和挠率 计算机图形学第三章(1)第49页共29页计算机图形学 第三章(1) 第 49 页 共 29 页 若曲线上 R、Q 两点的参数分别是 t 和 ，矢量 ，其大小以连接 RQ 的弦长表示。 如果在 R 处有确定的切线，则当 Q 趋向于 R，即 时，导数矢量趋向于该点的切线方向。如选择弧长 s 作为 参数，则 是单位切矢量。因为，根据弧长微分公式有： 引入参数 t，上式可改写为： 考虑到矢量的模非负，所以： 故弧长 s 是 t 的单调增函数，其反函数 t(s)存在，且一一对应，得 于是： 即 T 是单位切矢量。 3. 法矢量 对于空间参数曲线任意一点，所有垂直切矢量 T 的矢量有一束，且位于同一平面上，该平面称为法平面，如图 3.1.2 所示。 若对曲线上任一点的单位切矢为 T，因为 ，两边对 s 求导矢得： ，可见 是 一个与 T 垂直的矢量。与 平行的法矢称为曲线在该点的主法矢，主法矢的单位矢量称为单位主法矢量，记为 N。 矢量积 是第三个单位矢量，它垂直于 T 和 N。把平行于矢量 B 的法矢称为曲线的副法矢，B 则称为单位 副法失量。 对于一般参数 t，我们可以推导出： T(切矢)、N(主法矢)和 B(副法矢)构成了曲线上的活动坐标架，且 N、B 构成的平面称为法平面，N、T 构成的平面 称为密切平面，B、T 构成的平面称为从切平面。 4. 曲率和挠率