第九章再论实数系 §2实数闭区间的紧致性 1.利用有限覆盖定理9.2证明紧致性定理9.4. 提示:关键是要证明在a,中存在一点x0,使得xo的任意一个邻域都 存在数列{xrn}中的无穷多项,应用反证法。 10.设f(x)是(a,b)上的凸函数,且有上界,求 证:limf(x),limf(x)存在 提示:取=(a+b)/2,注意到函数F(x)=)=为(a,b)上的增函 数 12.设f(x)在0,+∞)上连续且有界,对任意a∈(-∞,+∞),f(x)=a 在0,+∞)上只有有限个根或无根,求证:limf(x)存在 提示:用闭区间套套出imf(x)的极限值。 §3实数的完备性 1,设f(x)在(a,b)连续,求证:f(x)在(a,b)一致连续的充要条件 是limf(x)与limf(x)都存在 提示:必要性应用柯西收敛原理。 2.求证数列xn=1+1 当n→∞时的极限不存在第九章 再论实数系 §2 实数闭区间的紧致性 1．利用有限覆盖定理9．2证明紧致性定理9．4． 提示：关键是要证明在[a, b]中存在一点x0, 使得x0的任意一个邻域都 存在数列{xn}中的无穷多项，应用反证法。 10． 设f(x) 是(a, b) 上 的 凸 函 数 ， 且 有 上 界 ， 求 证： lim x→a+ f(x), lim x→b− f(x) 存在． 提示：取x0 = (a + b)/2,注意到函数F(x) = f(x)−f(x0) x−x0 为(a, b)上的增函 数。 12．设f(x) 在[0, +∞) 上连续且有界，对任意a ∈ (−∞, +∞), f(x) = a 在[0, +∞) 上只有有限个根或无根，求证： lim x→+∞ f(x) 存在． 提示：用闭区间套套出 lim x→+∞ f(x)的极限值。 §3 实数的完备性 1，设f(x) 在(a, b) 连续，求证：f(x) 在(a, b) 一致连续的充要条件 是 lim x→a+ f(x)与 lim x→b− f(x) 都存在. 提示：必要性应用柯西收敛原理。 2．求证数列xn = 1 + √ 1 2 + · · · + √ 1 n 当n → ∞ 时的极限不存在． 1