第8讲积空间与商空间 教学目的:了解积空间与商空间的定义与基本性质。 授课要点: 1、积空间的定义和基本性质 2、商空间与商映射的基本属性 设(X1;|·4),1≤i≤n是一组线性赋范空间,令 x=(x1…x):x∈X,1≤i≤n} 记为X=∏X1,X中元素的线性运算与序列空间中一样定义,则X是线性空间.若此外定义 x。=C∑‖x1l)",1≤p<∞ xll=sup‖x1l,p=∞ 则(X,|)是线性赋范空间 定理1设X1,X如上,则X是线性赋范空间并且 (1)X是完备的当且仅当每个X,(1≤i≤n)完备 (2)每个映射P:X→X,x→x是连续的(i=1,,n) 证明1°先设每个x1是完备的,假定x*=(x1*,…,x)是X中的 Cauchy序列,则 E>0,3使得k≥k时 ∑x"-x“=x”-x“"<E, 特别地对于每个i, (1) 这说明{xk≥l是x1中的 Cauchy序列由x的完备性,不妨设‖x)-x→0,这里 x∈X(≤i≤n).记x=(x…,x)在(1)中固定k≥k,令s→∞,则有第 8 讲 积空间与商空间 教学目的：了解积空间与商空间的定义与基本性质。 授课要点： 1、 积空间的定义和基本性质。 2、 商空间与商映射的基本属性。 设( ;|| || ), 1 Xi i ⋅ ≤≤i n 是一组线性赋范空间，令 X = { } x = (x1,", xn ): xi ∈ Xi ,1≤ i ≤ n ， 记为 ∏= = n i X Xi 1 . X 中元素的线性运算与序列空间中一样定义，则 X 是线性空间. 若此外定义 = ∑ ≤ < ∞ = x x p p n i p p i i || || ( || || ) , 1 1 1 i i i n || x || sup || x || 1≤ ≤ ∞ = , p = ∞ 则( ,|| || ) X p ⋅ 是线性赋范空间. 定理 1 设 Xi ， X 如上，则 X 是线性赋范空间并且 (1) X 是完备的当且仅当每个 X (1 i n) i ≤ ≤ 完备. (2) 每个映射 i i i P : X → X , x → x 是连续的（i =1,..., n ）. 证 明 1°先设每个 Xi 是完备的，假定 ( , , ) ( ) ( ) 1 ( ) k n k k x = x " x 是 X 中的 Cauchy 序列，则 ∀ε > 0， 0 ∃k 使得 0 s, k ≥ k 时 p p p s k n i p i k i s i ∑ x − x = x − x < ε = || || || || ( ) ( ) 1 ( ) ( ) , 特别地对于每个i ， − < ε i k i s i || x x || ( ) ( ) (1) 这说明 { ; 1} ( ) x k ≥ k i 是 Xi 中的 Cauchy 序列.由 Xi 的完备性,不妨设 || || 0 xi (k ) − xi i→ ，这里 x X (1 i n) i ∈ i ≤ ≤ . 记 ( , , ) 1 n x = x " x . 在 (1) 中固定 0 k ≥ k ,令 s → ∞ ，则有