Vol.18 No.6 陈兆斗等：Gauss整环上的二维AFT算法 ·593· M6bius反演公式得到： ++c:+c。超0渠器点 2Σx,) (17) 其中4是G"上的Mobius函数. 从几何的观点可以清楚地看到采样点集的结构.平行线族Io:mx+y-2pm=0,pEZ与 1,:-nx+my-2qπ=0，q∈Z分别是等距的平行线族，两条相邻平行线间距离dn=2r/1a. 线族L。与，是相互正交的，它们将平面划分为一系列正方形网络，网格的交点即为D(α)中的 点， 由S。的定义可推出：当B与a相伴时，S。=Se=S_a=S-a,又由于相伴元的Mobius函 数值相等，所以可以把级数(17)中对的求和限制在第一象限内：0≤argB<π/2，即a≥1， b≥0.于是级数(17)可以表示为： C.+C+C+C。品=22+b3n (18) a=1b=0 特别当x,》关于x和y都是偶函数时，C。=C。=C-a=C-c由式(17)，C。的计算将会十 分简单： 的。运2e+8w C。=16g6 (19) 4进一步的讨论 将本文对于AFT算法的推导方法用于一维Fourier系数的AFT算法，可得到与式(2)相 同的公式.可见，本文得到的结果是一维AFT算法在二维的自然推广.初步的数值计算结果 表明，该算法有较快的收敛速度和较高的精度，更重要的是可将该方法推广到一维及二维小 波系数的计算上，称之为AWT(Arithmetic Wavelet Transform)算法. 致谢北京大学潘承彪教授、北京科技大学容尔谦教授对该研究提出了宝贵意见，在此表示感谢！ 参考文献 1 Walker W J,Schiff J L.Convolution and the Arithmetic Fourier Transform,Its Applications. Australia:Gold Coast Australia,1992.13 15 2 Tufts D W,Sadasiv G.The Arithmetic Fourier Transform.IEEE ASSP Magaine,1988.13~17 3陈兆斗，申亚男，陈难先.整环上的M6bius函数与一个逆问题的解.科学通报，1993,38(21)：1936~ 1939 4盖尔芳特HM,希洛夫.广义函数(I).北京：科学出版社，1965.31 5陈兆斗，陈难先.M6bius反演与“算术Wavelet变换".自然科学进展，1996,6(6)：664~672陈兆斗等 整 环上 的二 维 算法 反 演公 式得到 一 摄硼 一 摄篙赢卿 其 中 产是 上 的 函数 从几何 的观点可 以清楚地看到 采样 点集 的结构 · 平行 线族 今 一 二 ， 与 令 一 一 二 ， 分别是 等距 的平行线族 ， 两条相 邻平 行 线 间距 离 凡 二 · 线族 吞与 几是 相 互 正 交 的 ， 它 们将平 面划分 为一 系 列 正 方形 网络 ， 网格 的交 点 即 为 户 中的 点 由 的定义 可 推 出 当 声与 相 伴 时 ， 一 气 一 。 扩 又 由于相 伴元 的 函 数值相 等 ， 所 以 可 以 把级数 中对 刀的求和 限制在第一象限 内 ‘ 口 二 ， 即 七 ， 之 于 是级数 可 以 表示 为 几 。 特别 当力 ， 关于 和 分简单 一 一 。 ‘ 场 二 尹谓，‘ 一 。 菩 。各产‘ ” ，， 一 ‘，‘， 都是偶 函数 时 ， ‘ 。 。 ， 由式 ， 的计算将 会 十 一 缺 ， ，。 ‘ 一 携 ， 却 · 进一步的讨论 将本文 对于 算 法 的推 导方 法 用 于 一 维 系数 的 算 法 ， 可 得 到 与式 相 同的公 式 可 见 ， 本 文 得 到 的结果 是 一 维 算 法 在 二 维 的 自然 推 广 初 步 的数值计算结果 表 明 ， 该算法 有 较快 的 收敛速 度 和 较 高的精度 更 重要 的是 可 将 该 方 法 推广到 一 维及 二 维小 波 系数 的计算 上 ， 称 之 为 算法 ， 致谢 北京大学潘承彪教授 、 北京科技大学容尔谦教授对该研究提 出了宝贵意见 ， 在此表示 感谢 参 考 文 献 ， 户 ， 加 加 ， ， 明 ， 一 陈兆斗 ， 申亚男 ， 陈难先 整 环 上 的 函数 与一个逆 问题 的解 科学通 报 ， ， 盖尔芳特 ， 希洛夫 广义 函 数 工 北京 科学 出版社 ， 陈兆斗 ， 陈难先 反演 与 “ 算 术 变换 ” 自然科学进展 ， ， 一