是有的,而且不只一种。最常用的曲线是 logistic曲线,此外还有一种被经常使 用的是对正态分布曲线进行积分的概率曲线。当然还有一些其他类似的曲线,但 是由于使用起来不太方便,它们的应用就不太普遍。在本章中,我们主要介绍应 用 logistic曲线进行的问归分析。由于其在实际求解时有很多优越性,所以 logis- tic回归的应用最为普遍。 1. logistic I函数及其性质 logistic函数(罗吉斯蒂函数)又称增长函数。此函数曾于1838年由比利时 学者维尔玉斯特(PF. Verhulst)第一次提出,后湮没失传。1920年,美国学者 珀尔和利德( Robert b. Pearl and Lowell J.Reed)在研究果蝇的繁殖中,重新发 现这个函数,并开始在人口估计和预测中推广应用,并引起广泛注意。① logistic函数的原型为②: P=(.-(a+ bt) 其中,t为时间,P为时间t上的人口数,L为P的最大极限值,a和b分 别是有关参数。作为人口预测函数,P永远取正值(>0)。根据我们非线性概率 模型的要求,需将P换成概率p=p(y=1),还要将上限L改为1。于是,概 率的值域就被限制在(0,1)之间的合理范围内。上限p=1和下限p=0都是 水平渐近线,实际上无论参数和自变量值如何变化,函数值都不会达到上限点或 下限点。此外,由于我们未必一定要用时间作为自变量,因此我们将t改为x以 泛指任意一个自变量,其值域也没有任何限制。于是,就得到了 logistic概率函 数。下面我们通过几个 logistic函数的曲线(图6-1-1、6-1-2、6-1-3 6-1-4),来熟悉一下这一函数的性质和有关参数的作用。 logistic的概率函数定义为: 1+exp[ -(a+bx) 它也可以改写成如下形式 1+ expl b(-a/b (2 C Henry S Shryock, Jacob S Siegel and Associates(1976) The Methods and Material of Demography. Academic press:215-216.刘铮主编:《人口学辞典》,1版,239~241页,北 京,人民出版社,1986 ②下面式中exp[u]表示自然对数底的指数函数,即e。下同