不变因子组与初等因子组互相唯一确定 命题1数字矩阵的初等因子组被其不变因子组唯一确定,反之亦然 证明必要性.由因式分解唯一性,即得. 充分性对给定的初等因子组P(),适当增加些1表示为P(),e=0 则可将这组初等因子按降幂排列如下: p2(入),p1=1(),……,p21(入),ck1≥ek-n1≥…≥e (),ek≥ek-12≥ 令 dk(入)=n11()p22()…p2(入), dk-1(入)=p1-1()2-12()…p2-12(), d1()=p21(A)p2()…p2(0) 则d4()2+1(入),1≤i≤k 因为|-A的第n个行列式因子为首一n次多项式,故A的不变因子为 1,…,1,d1(),d2(入),…,dk(入),其中1的个数为n-k,由不变因子的唯一性即知 由初等因子可唯一地确定A的不变因子 例3设A是一个12阶矩阵,初等因子组为 (X-1)2,(X-1)2,(X-1)2,(X+1),(X+1),(X-2,(X+12, 则A的不变因子组为 1,1,……,1,(9个1),(X-1)2,(X-1)2(A+1),(A-1)2(X+1)(A2+1) 定理1数域K上的两个矩阵A与B相似的充分必要条件是它们由相同的初 等因子组,即矩阵的初等因子组是矩阵相似关系的完全不变量. 三.初等因子组的计算(以下在复数域上考虑) 初等因子的计算有更方便的方法 引理1若(f(x),9(x)=1,且h(x川f(x),则(h(x),9(x)=13
6WY>%6WYG!0w￾ab 1 X\I$%6WY r6WY0w-￾5N4x
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0>-$%6WY P eij j (λ), !EN0# 1(Æ P eij j (λ),eij = 0), D_RHY%6WSlqdy p ek1 1 (λ), p ek−1,1 1 (λ), · · · , p e11 1 (λ), ek1 ≥ ek−11 ≥ · · · ≥ e11 p ek2 2 (λ), p ek−1,2 2 (λ), · · · , pe12 2 (λ), ek2 ≥ ek−12 ≥ · · · ≥ e12 · · · · · · p ekt t (λ), p ek−1,t t (λ), · · · , p e1t t (λ), ekt ≥ ek−1t ≥ · · · ≥ e1t f dk(λ) = p ek1 1 (λ)p ek2 2 (λ)· · · p ekt t (λ), dk−1(λ) = p ek−1,1 1 (λ)p ek−1,2 2 (λ)· · · p ek−1,t t (λ), · · · d1(λ) = p e11 1 (λ)p e12 2 (λ)· · · p e1t t (λ), D di(λ)|di+1(λ), 1 ≤ i ≤ k − 1. 6 |λI − A| $* n ='d
6W0 n 1"
￾A A $6W 1, · · · , 1, d1(λ), d2(λ), · · · , dk(λ), rT 1 $= n − k, 96W$0(KM 9%6W_0(w- A $6W
2 _ 3 } A 0= 12 W\I￾%6WY (λ − 1)2 ,(λ − 1)2 ,(λ − 1)2 ,(λ + 1),(λ + 1),(λ − i) 2 ,(λ + i) 2 , D A $6WY 1, 1, · · ·, 1,(9 = 1),(λ − 1)2 ,(λ − 1)2 (λ + 1),(λ − 1)2 (λ + 1)(λ 2 + 1)2 . \^ 1 ? K |$b=\I A > B ! $8 -QÆk9!$ %6WY￾K\I$%6WY\I! B$v
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%6WY$L (3C9?|^g) %6W$L:6$64
d^ 1 z (f(x), g(x)) = 1, t h(x)|f(x), D (h(x), g(x)) = 1. 2