《数学分析》下册 第二十一章二重积分 海南大学数学系 §2直角坐标下二重积分的计算 教学目的掌握直角坐标下二重积分的计算公式. 教学内容二重积分化为累次积分：累次积分的积分次序的交换， (①)基本要求：掌握二重积分化为累次积分的方法和累次积分的积分次序的 交换公式. (2)较高要求：掌握二重积分化为累次积分公式的证明。 教学建议 ()要求学生必须熟练掌握直角坐标下二重积分的计算公式. (2)对较好学生要求掌握二重积分化为累次积分公式的证明. 教学程序 定理21.8设川在矩形区域D:a,小x[6,d上可积，且对每个 xea,积分 fx,y j了rk, 存在，则累次积分 电存在，且加了jk海 (1) 证明令F)。/6 ,定理要求证明F()在a,上可积，且积分结 果恰为二重积分.为此，对区间，与k,d小分别作分割， a=X<x<.<x,=b, c=%<y<<y,=d 按这些分点作两组直线 x=x,i=12,.,r-1.及 y=(k=1,s-) 它把矩形分为5个小矩形，记△为小矩形 kx]yy小=Lrk=L,设在△上的上确界和下确界分 别为M和m.在区间区，x]中任取一点5，于是就有不等式《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 1 §2 直角坐标下二重积分的计算 教学目的 掌握直角坐标下二重积分的计算公式． 教学内容 二重积分化为累次积分；累次积分的积分次序的交换． (1) 基本要求：掌握二重积分化为累次积分的方法和累次积分的积分次序的 交换公式． (2) 较高要求：掌握二重积分化为累次积分公式的证明． 教学建议 (1) 要求学生必须熟练掌握直角坐标下二重积分的计算公式． (2) 对较好学生要求掌握二重积分化为累次积分公式的证明． 教学程序 定理 21.8 设 f (x, y) 在矩形区域 D：a,bc,d 上可积，且对每个 x  a,b ，积分 ( )  d c f x, y dy 存在，则累次积分  b a dx ( )  d c f x, y dy 也存在，且 ( )  D f x, y d =  b a dx ( )  d c f x, y dy . (1) 证明 令 F(x)＝ ( )  d c f x, y dy ，定理要求证明 F(x) 在 a,b 上可积，且积分结 果恰为二重积分．为此，对区间 a,b 与 c,d 分别作分割， , c = y0  y1  ys = d . 按这些分点作两组直线 , 1,2, , 1. i x x i r = = − 及 k y = y (k =1,  ,s −1) 它把矩形分为 rs 个小矩形，记 ik 为小矩形     i i k k x , x y , y −1  −1 (i =1,  ,r,k =1,  ,s) ；设 f (x, y) 在 ik 上的上确界和下确界分 别为 Mik 和 mik ．在区间   i i x , x −1 中任取一点  ik ，于是就有不等式 a = x0  x1  xr = b