《数学分析》下册 第二十一章二重积分] 海南大学数学系 mAy,≤jf作nM≤MAy. 其中Ay=y-y.因此 2mA,sF代G)-形w≤空M,A, 左名Aa,2F-w安名，A,② 其中4=。-.记4的对角线长度为d和门=四d,由于二重积分存 在.由定理214.当门>0.会，“和2以，4有相同的概限，且 极限位等于 .因此当门→0时由不等式(2)可得： 肥∑F飞A∬Ko ，(3) 由于当门→0时，必有职A→0，因此由定积分定义，（3)式左边 e∑F形A∫Fjj/,M 定理21.9设f代在，川在矩形区域D:a,小x[c,d]上可积，且对每个 y∈k,d,积分 y 存在，则累次积分也存在，且 r(.yo Jd Jr点 定理219的证明与定理21.8相仿. 特别当f心（川在矩形区域D:a,小k,d小上连续时，则有 ∬f,Ho Jdsjr,jj/k,h 1计算+ 其中D=D,则x[0,1. 《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 2 ( ) ik k y y ik k i m y f y dy M y k k      −1  , ， 其中  k = k − k−1 y y y ．因此    ( ) = = k i s k mik y F  1 ( )   d c f  i , y dy k s k ik  M y =1 ， = r i 1      ( ) = = = r i k i i i s k ik m y x F x 1 1  ( )   d c f  i , y dy = r i 1 k s k ik  M y =1 i x ， (2) 其中  i = i − i−1 x x x ．记 ik 的对角线长度为 ik d 和 ik i k T d , = max ,由于二重积分存 在．由定理 21.4，当 T → 0 时， k i i k ik m y x , 和 k i k ik  M y , i x 有相同的极限，且 极限值等于 ( )  D f x, y d ．因此当 T → 0 时由不等式（２）可得：  ( ) = →  r i i i T F x 1 0 lim  = ( )  D f x, y d ， (3) 由于当 T → 0 时，必有 max 0 1  →   i i r x ，因此由定积分定义，（３）式左边  ( ) = →  r i i i T F x 1 0 lim  = ( )  b a F x dx =  b a dx ( )  d c f x, y dy . 定理 21.9 设 f (x, y) 在矩形区域 D：a,bc,d 上可积，且对每个 yc,d ，积分 ( )  b a f x, y dx 存在，则累次积分也存在，且 ( )  D f x, y d =  d c dy ( )  u a f x, y dx . 定理 21 9 的证明与定理 21．8 相仿． 特别当 f (x, y) 在矩形区域 D：a,bc,d 上连续时，则有 ( )  D f x, y d =  b a dx ( )  d c f x, y dy =  d c dy ( )  u a f x, y dx . 例1 计算 ( )  + D x y d 2 其中 D = 0,10,1