致连续。 (提示:考虑 f(x1)-f(x2) x1-√x2 2.设f(x)在x=0的某邻域内有n阶导数,且f(0)=f(0)=…=fm(0)=0,用 Cauchy中值定理证明 (0<6<1) 23.证明不等式 ex+e 2)xy>0n>1; x≠ 24.( Jensen不等式)设∫(x)为[a,b上的连续下凸函数,证明对于任意x2∈[a,b]和 ∑λ=1,成立 x|≤∑4f(x 25.利用上题结论证明:对于正数a,b,c成立 (abc)3≤a°b°c 26.设f(x)在(a+)上可导,并且limf(x)=0,证明m2(x) x→+X 27.设∫(x)在[a,b]连续,在(a,b)二阶可导,证明存在n∈(a,b),成立 f(b)+/(a)-2+b 2)(7) (提示:在区间/a+b b b|上考虑函数g(x)=f(x)-f(x-=n2)。) 习题5.2 1.对于 lim f∫'(x) =+∞或 x→a+ 的情况证明 L'Hospital法则 2.求下列极限 (1)lim m sIn x In(sin x) n二m (4 lim (5)lim In(tan 7x) (6)lim tan 3x I-0+ In(tan 2x致连续。 （提示： 考虑 1 2 1 2 ( ) ( ) x x f x f x − − 。） 22． 设 f (x)在 x = 0 的某邻域内有 阶导数，且 ，用 Cauchy 中值定理证明 n f f f n ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 = ′ = = = " − 0 (0 1) ! ( ) ( ) ( ) = < θ < θ n f x x f x n n . 23． 证明不等式： ⑴ , , 0, 1 2 2 ⎟ > > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ≥ + x y n x y x y n n n ; ⑵ e e e , x y x y x y + > ≠ + 2 2 . 24． （Jensen 不等式）设 f (x) 为[a,b]上的连续下凸函数，证明对于任意 xi ∈[a,b]和 λi > 0 （i = 1,2,", n ）， 1，成立 1 ∑ = = n i λi ∑ ∑ = = ⎟ ≤ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ n i i i n i i i f x f x 1 1 λ λ ( ) 。 25． 利用上题结论证明：对于正数 a,b, c 成立 a b c a b c abc ≤ a b c + + 3 ( ) 。 26． 设 f (x)在( , a + ∞) 上可导，并且 lim ( ) x f x →+∞ ′ = 0 ，证明 lim ( ) x f x →+∞ x = 0。 27．设 f (x) 在[a,b]连续，在(a,b)二阶可导，证明存在η ∈ (a,b) ，成立 "( ) 2 ) 2 ( ) ( ) 2 ( 2 f η a b b a f b f a f ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = + + − 。 （提示：在区间 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + b a b , 2 上考虑函数 ) 2 ( ) ( ) ( b a g x f x f x − = − − 。） 习 题 5.2 ⒈ 对于 lim ( ) x a ( ) f x → + g x ′ ′ = +∞ 或 − ∞ 的情况证明 L'Hospital 法则。 ⒉ 求下列极限： ⑴ lim e e x sin x x → x − − 0 ; ⑵ x x x tan 5 sin 3 lim →π ; ⑶ lim ln(sin ) ( ) x x →π π − x 2 2 2 ; ⑷ lim x a m m n n x a → x a − − ; ⑸ ln(tan 2 ) ln(tan7 ) lim 0 x x x→ + ; ⑹ x x x tan tan 3 lim 2 π → ; 3