得最优控制： =-(:0+)'Mr,8 (11) 满足(x,u,t)=0,于是我们有： 定理2一如果正函数V(x,t)满足(C),(C,),(Cs),(C:)以及Bεllman方程式 (10),那么以闭形式给出的控制式(11)是问题(8)，(9)的最优解，且使式(8)解为随机指数 稳定的。 3线性系统 现在我们利用上节的结果来讨论一卜线性系统： dX=A(t)Xdi+M(1)udt+B(t)dB (12) in/(w)d (13) u 的最优稳定性问题。 假设Lyapunov函数具有形式： V(x,1)=XTD(t)X,D()>0,tct,,t) 则有LP=XTCD+ArD+DA+BrDB)X+DMu =LV+XTC(t)X+uR(t)u (14) 得 u=-R-IMTDX 将其代入式(14)，得Bellman方程： X'CD+C+AD+DA+BTDB-DMR-M'D]X=0 从而有： D+C+AD+DA+BDB-DMRMD=0 (15) 如果式(15)有解，那么trD()≤H(H为一正常数)。 与此同时，我们有： LV=XCD+AD+DA+BBD-DMR-MD)X (16) 定理2一设A(t),M(),t〔t,∞)是有界连续矩阵，A(),M(t)是一致可控的， 如果存在一系数K>0,使XTC()X≥K|川X|I2,那么系统(12)，(13)是最优随机指数稳 定的。 证：由一致可控性知，矩阵A()-M'()R()M()D()是稳定的（即特征值具有负 实部)。设其转移矩阵为中(t,T),那么方差矩阵为： 94得最优控制 万 一 。 ， 豁 。 一 ‘ 、 · · ， ， 言蛋 满足 刁 二 ， “ ， ， 于是我 们 有 定理 －如果 正 函 数 犷 ， 满 足 ， ， ， ， ‘ 以 及 ‘ 方 程 式 ， 那 么以 闭形式 给出的控制式 是问题 ， 的最优 解 ， 且使式 解为随机 指 数 稳定 的 。 线 性 系 统 现 在我 们利 用上 节的结果来 讨论一 下线性系 统 月 刀 咒 · “ · ， 〔 · “ ， · “ ，· 〕 ‘ 的最 优稳定性 问题 。 假设 “ 函数具 有形 式 犷 ， ， ， 。 〔 。 ， 二 则 有 犷 〔 犷 丁 〕 刁 犷 丁 “ 得 一 一 ‘ 将其代 入 式 ， 得 方程 了 〔 刁 了 汉 一 一 ‘ 『 〕 一 二 从 而 有 过 月 ” 刃 一 一 ’ 了 如果 式 有解 ， 那么 簇 厅 万 为一正 常数 。 与此 同时 ， 我 们有 犷 〔 了 月 一 一 ’ 〕 定理 － 设 ， ， 。 〔 。 ， 二 是 有界连 续矩 阵 ， 刁 ， 是一致 可 控 的 ， 如果 存 在一系数 ， 使 日州 ， 那 么 系统 ， 是最 优随机指 数 稳 定 的 。 证 由一致可 控性 知 ， 矩 阵 过 一 一 ‘ 是稳 定 的 即特 征值具 有 负 实部 。 设 其转移矩阵为 价 ， ， 那 么方差矩 阵 为 」医