通过解式(6)，可找出最优解4，然后代入式(5)有： N,0+,,0g+号三r,,Yr,, oV 0x,0x,+g(x,4,t)=0 (7) 定理1一如果一正函数满足条件(C,),(C:),(Cs),(C4)以及Bellman方程(7)， 那么由式(6)给出的控制4是最优的，且使系统(3)是随机指数稳定的。 证：现在考虑性能测度（在有限时间里），由式(4)式(7)，我们有： J=E9,a,a=-rX,) 又因 ErX,=Erx.,+E到。 LV(X.,t)dr ,L7心-F<0、Er(X.(,),4)<+∞所以ELV(X,)dr收 存在(t→∞)。这样V(X:,)是正上半鞅，由式(6)式(7)即阳4是最优的；(C1),(C2), (Cs),(C)保证了指数稳定性。 现在考虑如下情形： g(￥，u,)=秒(x,)十uTR(t)4,≥0，R>0对称。 U(x,4,t)=M(x,t)4,M是nXm矩阵函数。 Y(x,u,t)=Q(t)4,Q是nXm矩阵函数。 于是式(2)、式(3)、式(4)成为： dX.=F(X.,t)dt+M(X.,t)udt+Q()uds+G(X.,t)dB (8) minJ=E(X.,t)+uRujdt (9) u 用前面步骤我们可写出表达式： Lr=N(,+M,+号U0gYqu =LV+p(x,t)十urRu=0 (10) 由式(10)得： (0 Q20 93通 过 解式 ， 可找 出最 优 解 ， 然 后代 入式 有 刃 ， ‘ ， ， 声 夕竺十 粤 会 会 二 ， 万 ， ， 二 ， 万 ， ， · 劣 ‘ 乙 主 二 厂 劣 ‘ 劣 ， ， 定 理 －如果一正函数 满足 条件 ， ， ， 以 及 方 程 ， 那 么 由式 给 出的 控 制 是最优的 ， 且使系 统 是随 机 指数稳 定 的 。 证 现在考虑性能测 度 在有限 时间里 ， 由式 式 ， 我 们 有 ‘ 。 一 万 ， ‘ ， ‘ 一 ‘ 一， ‘ ， 又 因 厂 一 ‘ ， 犷 · 。 ， ， ‘ 。 ， 。 犷 一， · 而 犷 。 ， 五 环 毛 一 “ 、 · “ 。 ， ， 。 ， 一所 以 “ 。 ‘ 犷 ‘ 一， · “ 敛 ， 从 而 ‘ 存 在 了 、 。 这样 万 。 ， 是正上半鞍 ， 由式 式 即 知 是 最 优 的 ， ， ， 保证 了指数稳定性 。 现 在考 虑如 下情形 扭 ， ， 护 ‘ ， ， 劝乡 ， 对 称 。 ， “ ， ‘ ， 。 ， 是 。 矩 阵函数 。 ， “ ， “ ， 是 几 。 矩 阵函数 。 于 是式 、 式 、 式 成为 。 。 ， 。 ， 。 古 。 ， 声 。 ，· 〔 “ 一 ‘ ’ 十 “ “ “ 〕 ‘ 用前面步骤 我 们可 写 出表达式 ， 、 ， 厂 。 ， 、 ， ， ， 二 ， 口“ 厂 儿 挥 吸火 ， 月 十 一万 奋 丈以 义 ， 门 十 一石一 ‘ “ ‘ 下 不 叼 气 ‘ 劣 “ 月 刁 犷 护 二 ， ， 二 由式 得 、 二 ， ， 班十 嘿 万十 口 丁 丫 ‘