5 一、对称性 定理1.对偶问题的对偶是原问题 证明设原问题是 max 2=CX 满足 AXSi X≥0 则对偶问题为： min w=Qb 满足 JQAZC 1Q20 将上述对偶问题的约束条件（非负约束除外）两边取负号因为mi血心--max(-w),可 得 max (-w)=-bTQ -0A<-C 满足 Q≥0 根据建立对偶问题的规则，此问题的对偶问题为： min (-2)=-CX 满足 「-AX≥-b 1X>0 因为min(一)=-max云，因此有 max 满足A≤6 1X≥0 这就是原问题。 二、弱对偶性 定理2.设是原问题(1.7)的可行解，可是对偶问题(1.8)的可行解则有C了<Q 证明设是原问题(1.7)的可行解则AX≤，若石≥0是对偶问题(1.8)的可行 解用反左乘上式两端得瓦4仅≤O6.因为可A≥C,用下右乘此式两端得石4A了≥C了 从而 Cx≤瓦A下≤Ob. 由弱对偶性，可得到如下重要结果 推论1.若原问题可行，但其目标函数值无上界，则对偶问题不可行. 证明用反证法。反设对偶问题可行，瓦为对偶问题的可行解，则由定理2可知对 原问题的任意可行解X都有CX≤，即原问题的目标函数值有上界，矛盾，所以对偶 问题不可行。 类似的可证明如下推论。 推论2.若对偶问题可行，但其目标函数值无下界，则原问题不可行 5 ✑s⑧ò✁⑤✁⑥ ⑦❡ 1. ✢✒✣✒✸✒✹✒★✒✢✒✣✒✘✒✼✒✸✒✹✯ ⑧✁⑨: ➒✼✒✸✒✹✒✘: max z = CX ➙✒➛ ( AX ≤ b X ≥ 0 →✢✒✣✒✸✒✹✒✻: min w = Qb ➙✒➛ ( QA ≥ C Q ≥ 0 ❋ å❤ ✢❀✣❀✸❀✹❀★❀❮❀❰❀Ï❀Ð (⑩✬❶❀❮❀❰✬❷✬❸) æ❯✬❹❶✬✸, ➦❀✻ min w = −max (−w), ÿ ý✁❺ max (−w) = −b TQ ➙✒➛ ( −QA ≤ −C Q ≥ 0 é✒ê★✁✩✢✒✣✒✸✒✹✒★✒✦→ , ➧✒✸✒✹✒★✒✢✒✣✒✸✒✹✒✻: min (−z) = −CX ➙✒➛ ( −AX ≥ −b X ≥ 0 ➦✒✻ min (−z) = −max z, ➦✒➧✒✾ max z = CX ➙✒➛ ( AX ≤ b X ≥ 0 ➣ ➾✒✘✒✼✒✸✒✹✯ ❫ s✓❻✒ò✒ô✁⑥ ⑦❡ 2. ➒ X ✘➽✼➽✸➽✹ (1.7) ★➽ÿP ●, Q ✘➽✢➽✣➽✸➽✹ (1.8) ★➽ÿP ●, →✾ CX ≤ Qb. ⑧✁⑨ ➒ X ✘✒✼✒✸✒✹ (1.7) ★✒ÿP ●, → AX ≤ b✯ ❆ Q ≥ 0 ✘✒✢✒✣✒✸✒✹ (1.8) ★✒ÿP ●, ✜ Q ❼✁◗✒å✁✥æ ✾ ý QAX ≤ Qb✯ ➦✒✻ QA ≥ C, ✜ X ✽✁◗✒➧✁✥æ ✾ ý QAX ≥ CX, ✓ ➷ CX ≤ QAX ≤ Qb. r✚❽✒✢✒✣✒✥, ÿ ý✁❺❼✒❢✒✩✒✪✁❾✁✣✯ ❿✁➀ 1. ❆✒✼✒✸✒✹✒ÿP , ❅ ✰ Ò◆Ó✒Ô✒Õ✒è✒✏å✁➁, →✢✒✣✒✸✒✹✒➬✒ÿP✒✯ ⑧✬⑨ ✜✵✬➂✬♠❀✯✓✵➒✢❀✣❀✸❀✹❀ÿP ❱ Q ✻❀✢❀✣❀✸❀✹❀★❀ÿP ●❱ → r✐➯✔ 2 ÿ ➤✢ ✼✒✸✒✹✒★✁➃✁✮✒ÿP ● X ✽✒✾ CX ≤ Qb, ä✒✼✒✸✒✹✒★ Ò◆Ó✒Ô✒Õ✒è✾✒å✁➁❱✓➄✁➅✁❱ ♦✁￾✒✢✒✣ ✸✒✹✒➬✒ÿP✒✯ ❨✁❩★✒ÿ➂✳❵❼✒❢✁➆✑✒✯ ❿✁➀ 2. ❆✒✢✒✣✒✸✒✹✒ÿP , ❅ ✰ Ò◆Ó✒Ô✒Õ✒è✒✏❢✁➁, →✼✒✸✒✹✒➬✒ÿP✒✯