第四章对偶问题及对倡单纯形法 攫追1和推论2的逆也成立 品文 三、可行解是最优解性质 定理3设了是原同高(17)的可行解是对偶题1.8)的可行解密C了=， 则了和夏分别是原何题和对偶问题得最优解。 证明：只需证明对原问题的得任一可行解X都有CX≤X:对对偶问题的任一可行 解Q都有Q≥O6.由弱对偶性对原问题的任一可行解X有CX≤Q-C，所以 CX≤C灭，可见是原问题的最优解.同样的方法可证可为对偶问题的最优解。 四、对偶定理 定理4. 原向题有最优解，量对偶问题一定有最优解，为原向题和对偶问题的最 优目标函数值相 证明和原阿题1，)的标这型的系数矩机为=以山，其单位矩和I为切关之量 的系数矩。设了为原问题(1.7)的最优解，B为其对应的基矩 今w=060N 为标这型中目标函数中决 之量的系数 则由最优型 这则可知最优解了对应的型数 C-CBB-1(AI)≤0，即 C-CBB-1(A,I)=C-(CBB-1A,CB B-1)=(C-CBB-1A,-CBB-1)<0 从而 C-CBB-1A≤0，-CBB-1≤0. 令石=CBB-1,由上性可知0≥0，为C-OA≤0即OA≥C.可见反为对偶问题(1.8) 的可行解为对应的目标函数值为”-CB-b.而原何题的最优解了对应的目标 函数值为之=C了 CB-1b,从而O6=C，由定理3可知为对偶问题的最优解，为 与原问题的最优目标函数值相同。 如偶原问题的目标函数为“血”型，同样可证明原问题和对偶问题的最优解的目标 函数为CBB-1b. 定理5. 了为原问题(17)的一满足最优型、 的基本解，则反=CgB-1为对偶问 题的一可行解为这两个解的目标函数的值相同.中B为基本解了对应的基矩 由上一定理的证明足见结论成立。 从上面定理的证明可以解出，对偶问题(1.8)的最优解刀=CB-,这现为为原间 意(1：)最优解表中切关之量的机会费用，原者说是原向意最优解表中切关之量型满数 cs-zs的负数.即 如偶原问题是求目标药数值最小，对偶问题是求目标函数值最大由于原问题系 其的系数构成一负单位矩，因比对偶同题的最优解是原间题最优解影中系求之量譎新 会费用2的负数原者说是最优解表中系求之量的型滑数9-8，即6 Ö✳×✵ØÚÙ✒Û✳Ü✵Ý✒Þ✒Ù✒Û✒ß✒à✒á✳â ➆✑ 1 ❁✁➆✑ 2 ★✁➇❏ ①✩ . ❿✁➀ 3. ❆✒✼✒✸✒✹✒ÿP , ➷✒✢✒✣✒✸✒✹✒➬✒ÿP , →✼✒✸✒✹✒★ Ò◆Ó✒Ô✒Õ✒è✒✏➁ ✯ ❿✁➀ 4. ❆✒✢✒✣✒✸✒✹✒ÿP , ➷✒✼✒✸✒✹✒➬✒ÿP , →✢✒✣✒✸✒✹✒★ Ò◆Ó✒Ô✒Õ✒è✒✏➁ ✯ ➈ s✓➉✁➊✈✁➋✁➌✁➍✁✈✕✁⑥✁➎ ⑦❡ 3. ➒ X ✘✒✼✒✸✒✹ (1.7) ★✒ÿP ●, Q ✘✒✢✒✣✒✸✒✹ (1.8) ★✒ÿP ●, ❆ CX = Qb, → X ❁ Q ❻✒➭✒✘✒✼✒✸✒✹✒❁✒✢✒✣✒✸✒✹ý ➀✒ç✒●✯ ⑧✁⑨: ➏✁➐➂✳❵✢✒✼✒✸✒✹✒★ý ➃✮ ÿ P ● X ✽✒✾ CX ≤ X; ✢✒✢✒✣✒✸✒✹✒★✁➃✮ ÿ P ● Q ✽❀✾ Qb ≥ Qb✯ r➑❽❀✢❀✣❀✥, ✢❀✼❀✸❀✹❀★✬➃✮ ÿ P ● X ✾ CX ≤ Qb = CX, ♦✬￾ CX ≤ CX, ÿ✁➒ X ✘✒✼✒✸✒✹✒★✒➀✒ç✒●✯ ❍✄ ★✕✁♠ÿ➂ Q ✻✒✢✒✣✒✸✒✹✒★✒➀✒ç✒●✯ ➓ s⑧ò✒ô⑦❡ ⑦❡ 4. ❆❀✼❀✸❀✹❀✾❀➀❀ç❀●, ➔✬→❀✢❀✣❀✸❀✹✮ ➯❀✾❀➀❀ç❀●, ✻❀✼❀✸❀✹❀❁❀✢❀✣❀✸❀✹❀★❀➀ ç Ò◆Ó✒Ô✒Õ✒è➵✒➻✯ ⑧✁⑨: ✼✒✸✒✹ (1.7) ★Ó✁➣↕✒★✒❉Õ✁❀✁❁✻ A 0 = (A, I), ✰ ❤✵⑦✒⑨❀✁❁ I ✻✁❇✁❈✁✭✒➔ ★❀❉Õ✬❀✬❁❀✯ ➒ X ✻❀✼❀✸❀✹ (1.7) ★❀➀❀ç❀●,B ✻✰ ✢❀✛❀★❀✫❀✬❁❀✯✓↔ C 0 = (C, 0, . . . , 0) ✻Ó✁➣↕✳❤ Ò◆Ó✒Ô✒Õ❤✵❐✁✫✁✭✒➔✒★✒❉Õ✒✯ → r✵➀✒ç✁↕✁➙➣→ÿ ➤➀✒ç✒● X ✢✒✛✒★✁↕✁➙Õ C 0 − CBB−1 (A, I) ≤ 0, ä C 0 − CBB −1 (A, I) = C 0 − (CBB −1A, CBB −1 ) = (C − CBB −1A, −CBB −1 ) ≤ 0, ✓ ➷ C − CBB −1A ≤ 0, −CBB −1 ≤ 0. ↔ Q = CBB−1 , r✵å✁✥✒ÿ➤ Q ≥ 0, ✻ C − QA ≤ 0 ä QA ≥ C ✯ ÿ✁➒ Q ✻✒✢✒✣✒✸✒✹ (1.8) ★❀ÿP ●✬✻❀✢❀✛❀★ Ò Ó❀Ô❀Õ❀è✻ w = Qb = CBB−1 b✯ ➷❀✼❀✸❀✹❀★❀➀❀ç❀● X ✢❀✛❀★ Ò Ó Ô✒Õ✒è✻ z = CX = CBB−1 b, ✓ ➷ Qb = CX ✯ r✵➯✔ 3 ÿ ➤ Q ✻✒✢✒✣✒✸✒✹✒★✒➀✒ç✒●, ✻ ✿✼✒✸✒✹✒★✒➀✒ç Ò◆Ó✒Ô✒Õ✒è➵✒❍✯ ❼✬✣❀✼❀✸❀✹❀★ Ò Ó❀Ô❀Õ✻ “min” ↕, ❍✄ÿ➂❛❵✼❀✸❀✹❀❁❀✢❀✣❀✸❀✹❀★❀➀❀ç❀●❀★ Ò Ó Ô✒Õ✻ CBB−1 b✯ ⑦❡ 5. ❆ X ✻✒✼✒✸✒✹ (1.7) ★✮➙✒➛➀✒ç✁↕✁➙✒★✒✫✒⑩✒●, → Q = CBB−1 ✻✒✢✒✣✒✸ ✹✒★✮ ÿ P ●, ✻➣✒æ✷ ●✒★ Ò◆Ó✒Ô✒Õ★è ➵✒❍✯ ✰ ❤ B ✻✒✫✒⑩✒● X ✢✒✛✒★✒✫❀✁❁✒✯ r✵å✮ ➯ ✔ ★➂✳❵✚➛➒✁❾✑ ①✩✯ ✓ å✖ ➯ ✔ ★➂❛❵ÿ✬￾ ●❋ , ✢❀✣❀✸❀✹ (1.8) ★❀➀❀ç❀● Q = CBB−1 , ➣✬➜✻❀✻❀✼❀✸ ✹ (1.7) ➀✒ç✒●✒②✳❤✚❇✁❈✁✭✒➔✒★✁➝✒➚q ✜ zs, ✼✁➞❴ ✘✒✼✒✸✒✹✒➀✒ç✒●✒②✳❤✚❇✁❈✁✭✒➔✁↕✁➙Õ cS − zS ★✁❶Õ , ä qi = zn+i . ❼✁✣✒✼✒✸✒✹✒✘❊▲Ò◆Ó✒Ô✒Õ✒è➀✒➁, ✢✒✣✒✸✒✹✒✘❊▲Ò◆Ó✒Ô✒Õ✒è➀✒ã, r✵➺✒✼✒✸✒✹✁❉✁❊✁✭ ➔❀★❀❉Õ✬➟①✮ ❶❀⑦❀⑨❀✬❁, ➦❀➧❀✢❀✣❀✸❀✹❀★❀➀❀ç❀●❀✘❀✼❀✸❀✹❀➀❀ç❀●❀②❛❤➑❉✬❊✬✭❀➔❀★✬➝ ➚ q ✜ zS ★✁❶Õ , ✼✁➞❴ ✘✒➀✒ç✒●✒②✳❤✚❉✁❊✁✭✒➔✒★✁↕✁➙Õ cS − zS, ä qi = −zn+i