第六章常微分方程 除了弹簧振动外,许多运动例如钟摆的往复运动机械振动,电路振荡都 以用这个方程作为其数学模型有无外力我们分为几种情形讨论 ().自由振动:即无外力作用(f(t)=0) 1.无阻尼自由振动 当阻尼系数=0时,有n=0.此时方程(429)变成 其通解为x(1)=acoO+csnm或者 x(t=Asn(ot +0(A,0ER) 因此不论初始位置x和初始速度w是什么,运动规律总是一个正弦函数 其周期等于、2兀 振动频率O与初始位置x。和初始速度v无关.A和分别 是振幅和初始位相、(它们由初始位置x。和初始速度w决定) 2有阻尼自由振动 当阻尼系数>0时,n>0,方程(3.30)变成 x+2nx+0x=0 其特征方程为x+2n+2=0,特征根为A2=-n√n2-c.这时又可以分 三种情况: (1)小阻尼自由振动:n<O.此时特征根为A2=-n±iO,其中 O=√o2-n>0.因此的通解为 x(o=e(acosot+asn@t=Ae sin(at +8 上式表明,这是一个随时间t增长而衰减的振动.其中周围T=一仍然与初 值无关 (2)临界阻尼振动:n=.此时特征根为A=A2=-n(<0),方程的通解 为 x(1)=e"(c+ct) 其中c=xo,C=1+nx0.由(434)知道,此时是一个衰减运动不发生振 动 (3)大阻尼自由振动n>O.此时两个相异特征根A,A2均为负数,方程(332) 通解为 x(0=ce 因此这时仍然是衰减运动,不发生振动 (二)强迫振动,即f()不恒等于零通常假定弹簧只受到周期外力 f(r=Hsin pt(H,p>0) 的作用 1无阻尼强迫振动 此时方程(3.29)变成 x+ox=Hsin pt 并且方程的通解为x(1)=Asn(O+b,这时又可以分为三种情形考虑 (1)当P≠O即外加频率不同于固有频率时,用待定系数法可求得一个特解 第六章常微分方程第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 除了弹簧振动外,许多运动,例如钟摆的往复运动,机械振动,电路振荡都 可以用这个方程作为其数学模型.有无外力,我们分为几种情形讨论. (一) .自由振动: 即无外力作用( f (t) = 0 ) 1. 无阻尼自由振动 当阻尼系数  = 0 时,有 n = 0.此时方程(4.29)变成 '' x + x = 2  0 其通解为 x(t) = c1 cost +c2 sint 或者 x(t) = Asin(t +) (A,R) 因此,不论初始位置 x0 和初始速度 v0 是什么, 运动规律总是一个正弦函数. 其周期等于 T = 2  , 振动频率  与初始位置 x0 和初始速度 v0 无关. A 和  分别 是振幅和初始位相,(它们由初始位置 x0 和初始速度 v0 决定). 2.有阻尼自由振动 当阻尼系数   0 时,n  0,方程 (3.30)变成 '' ' x + 2n x + x = 0 2  其特征方程为 2 2  + 2n + = 0,特征根为 12 2 2 , = −n  n − .这时又可以分 三种情况: (1) 小阻尼自由振动 : n   . 此时特征根为 1,2 = −n  i1 , 其 中 1 2 2  =  −n  0.因此 的通解为 x t e c t c t Ae t n t n t ( ) = ( cos + sin ) = sin( + ) − − 1 1 2 1 1  上式表明,这是一个随时间 t 增长而衰减的振动. 其中周围 T1 1 2 =   仍然与初 值无关. (2) 临界阻尼振动: n =.此时特征根为 1 = 2 = −n( 0) ,方程 的通解 为 x t e c c t nt ( ) = ( + ) − 1 2 其中 c1 = x0 ,c2 = v0 +n x0 .由(4.34)知道,此时是一个衰减运动,不发生振 动. (3)大阻尼自由振动: n  .此时两个相异特征根 1 2 , 均为负数,方程(3.32) 通解为 x t c e c e t t ( ) = 1 + 2 1 2 因此这时仍然是衰减运动,不发生振动. (二) .强迫振动, 即 f (t) 不恒等于零.通常 假定弹簧只受到周期外力 f (t) = Hsin pt(H, p  0) 的作用. 1.无阻尼强迫振动 此时方程(3.29)变成 '' x + x = Hsin pt 2  并且方程的通解为 x(t) = Asin(t +).这时又可以分为三种情形考虑: (1)当 p   即外加频率不同于固有频率时,用待定系数法可求得一个特解