第二十六讲 Laplace变换 第5页 826.3 Laplace变换的反演 象函数的导数的反演设∫(t)满足 Laplace变换存在的充分条件,f(t)=F(p),则F(p)在 Rep≥s1>s0的半平面中解析,因而可以在积分号下求导 f(tept dt (t)f(tept dt 所以 Fin(p)=(-t)"f(t) 根据这个公式,可以容易地得到 11d21 2 d 若F(p)是有理函数,则总可以通过部分分式求反演.例如 p+a)=ap-a2严2 11 象函数的积分的反演如果/F(q)dq存在①,且当t→0时,f(t)/有界,则 F(a)dq f(t) 利用这个公式,又可以得到许多函数的 Laplace变换,例如 特别是,如果p→0时,(★)式两端的积分均存在,则有 F(p)dp 利用这个结果,可以计算广fat型的积分,例如 这个积分曾经应用留数定理计算过·这里的计算更为简便 有些积分用留数定理计算比较复杂,但却可以方便地用这个办法计算.例如 cos at-cos bt ①这里的积分上限应了解为Rep→+∞,并且积分路径在F(p)的解析区域内,因而积分与路径无关Wu Chong-shi ëìíîï Laplace ➅➆ ➊ 5 ➋ §26.3 Laplace ✞✟ð✾✿ ❀ ✢✣➎✤✣➎❁❂ ✥ f(t) ➝➞ Laplace ▼❍①②❆✛ ❨ ♥♦✶ f(t) ; F(p) ✶ ú F(p) ② Re p ≥ s1 > s0 ❆❃❄❅ ➜❆❇✶ß❈⑧⑨②s❨❉ æÖ❊ F (n) (p) = d n dp n Z ∞ 0 f(t) e−pt dt = Z ∞ 0 (−t) n f(t) e−pt dt. ❹ ⑨ F (n) (p) : (−t) nf(t). ❋●❄Ô❍ ■✶⑧⑨■❏❑▲Ó 1 p 2 = − d dp 1 p : t, 1 p 3 = 1 2 d 2 dp 2 1 p : 1 2 t 2 . ù F(p) ❇❱▼ ❭ ❉✶ú◆ ⑧⑨❖❖P❨❨■Ö◗❘✗ ⑦× 1 p 3(p + α) = 1 α 1 p 3 − 1 α2 1 p 2 + 1 α3 1 p − 1 α3 1 p + α : 1 2α t 2 + 1 α2 t + 1 α3 − 1 α3 e −αt . ❀ ✢✣➎✿❀➎❁❂ ×Ø Z ∞ p F(q) dq ①② ❙ ✶❚ ❼ t → 0 ❲✶ |f(t)/t| ❱ ç ✶ ú Z ∞ p F(q) dq : f(t) t . (F) ❯❱❄Ô❍ ■✶❲⑧⑨▲Ó❳↔ ❭ ❉ ❆ Laplace ▼❍✗⑦× sin ωt t ; Z ∞ p ω q 2 + ω2 dq = π 2 − arctan p ω . ❨ ❩❇✶×Ø p → 0 ❲✶ (F) ■❩❬❆ s❨❭①②✶ú ❱ Z ∞ 0 F(p) dp = Z ∞ 0 f(t) t dt. ❯❱❄Ô❪Ø ✶⑧⑨❫❴ Z ∞ 0 f(t) t dt ❵ ❆ s❨✗⑦× Z ∞ 0 sin t t dt = Z ∞ 0 1 p 2 + 1 dp = π 2 . ➻û✕✖ ❛❜✫✑ ❝ ✙ ✰ ✢❞ ✝☎✗ ➻❡ ✒ ❞ ✝❢❢ ☛❣✗ ❱❤s❨❱ ✐❉Û▼❫❴ à❥❊❦✶❧♠⑧⑨♥♦❑❱❄Ô♣q❫❴✗ ⑦× Z ∞ 0 cos at − cos bt t dt = Z ∞ 0  p p 2 + a 2 − p p 2 + b 2  dp ❙ rst✉✈✇①②③④⑤ Re p → +∞ ⑥⑦⑧✉✈⑨⑩❶ F(p) t④❷❸❹❺⑥❻❼✉✈❽⑨⑩❾❿➀