re多项式 第7页 容易看出,当n>以以后,级数的各项符号相同,因此这个级数是一个正项级数①.它的相邻两 项之比为 =[+]r(+x+2=m 1+-+O (n++1)(n-v) 根据Gaus判到别法②,可以看出 ★对于一般的v值,P(x)在x=-1点发散 ★只要Pu(x)是无穷级数,它就不可能在x=-1点有界 ★要使得本征值问题有(非零)解,必须要求PL(x)不是无穷级数,即截断为多项式 从P(x)的具体形式看,这只能发生在v为非负整数时,所以,本征值问题的解就是 本征值 l(l 本征函数 y (r)=PI(a) Pl(x)是一个次多项式,称为次 Legendre多项式, n!)2(-n)!(2 容易得到 Legendre多项式在x=1点的数值 Legendre多项式是作为本征值问题的解出现的,是作为 Legendre方程在有界条件 下的本征函数出现的 列出最低的几个 Legendre多项式的表达式 P P2(x)=2 P4(x) ①首先要证明v(u+1)≥0,因而v≥0 2Gas判别法:若级数∑un中相邻两项之比可以写成 则当a>1时,级数绝对收敛;当a<1时,级数不可能绝对收敛16.2 Legendreõ‘ª 1 7  N´wѧn > ν±￾§?ꈑÎ҃ӧÏdù‡?괇‘?ꩧƒü ‘ƒ' un un+1 = − h (n + 1)! n! i2 Γ (ν + n + 1) Γ (ν + n + 2) Γ (ν − n) Γ (ν − n + 1) = (n + 1)2 (n + ν + 1)(n − ν) = 1 + 1 n + O µ 1 n2 ¶ , ŠâGaussO{§Œ±wѵ F éu„튧Pν(x)3x = −1:uÑ© F ‡Pν(x)´Ã¡?ꧧÒ،U3x = −1:k.¶ F ‡¦Š¯Kk(š"))§7L‡¦Pν(x)شá?ê§=äõ‘ª© lPν(x)äN/ªw§ùUu)3폚Kꞩ¤±§Š¯K)Ò´ Š λl = l(l + 1), l = 0, 1, 2, 3, · · · , ¼ê yl(x) = Pl(x). Pl(x)´‡lgõ‘ª§¡lgLegendreõ‘ª§ Pl(x) = X l n=0 1 (n!)2 (l + n)! (l − n)! µ x − 1 2 ¶n . N´Legendreõ‘ª3x = 1:ꊵ Pl(1) = 1. Legendreõ‘ª´ŠŠ¯K)Ñy§´ŠLegendre§3k.^‡ e¼êÑy© с$A‡Legendreõ‘ªLˆªµ P0(x) = 1, P1(x) = x, P2(x) = 1 2 ³ 3x 2 − 1 ´ , P3(x) = 1 2 ³ 5x 3 − 3x ´ , P4(x) = 1 8 ³ 35x 4 − 30x 2 + 3´ . Äk‡y²ν(ν + 1) ≥ 0§Ï ν ≥ 0© GaussO{µe?ê P∞ n=0 un¥ƒü‘ƒ'Œ±¤ un un+1 = 1 + µ n + O ³ n −λ ´ , µ = α + iβ, λ > 1, Kα > 1ž§?êýéÂñ¶α ≤ 1ž§?ê،UýéÂñ©