006春季班 线性代数第8章二次型 从实二次型的规范形 2 z1十z)+…zn-Z 容易看出,只有当P=r=n的时候,才会对任意非 零的向量,保证函数值是正的.只要r<n,或p<r, 都能取到非零的向量,使函数值为0或为负值.因此 有 (1)n元实二次型正定兮→正惯性指数p=n 这就是说,n元正定二次型的规范形一定是 (2)实对称阵A正定◇→A和单位阵合同 即存在可逆矩阵C,使得 A=CTC=CC (3)实对称阵A正定分存在可逆矩阵C,使得 A=CC (4)实对称阵A正定分A的所有特征值全是正数2006 春季班 线性代数 第 8 章 二次型 8—10 从实二次型的规范形 2 2 1 2 2 2 2 1 p p r f = z + z + + z − z − − z L + L 容易看出，只有当 p = r = n的时候，才会对任意非 零的向量，保证函数值是正的．只要r < n，或 p < r ， 都能取到非零的向量，使函数值为０或为负值．因此 有 （１）n元实二次型正定⇔正惯性指数 p = n． 这就是说，n元正定二次型的规范形一定是 2 2 2 2 1 n f = z + z +L+ z ． （２）实对称阵 A正定⇔ A和单位阵合同． 即存在可逆矩阵C ，使得 A C IC T = ＝C CT ． （３）实对称阵 A正定⇔存在可逆矩阵C ,使得 A C CT = ． （４）实对称阵 A正定⇔ A的所有特征值全是正数．