2006春季球 戋性代数第8章二次型 例6设A为n阶实对称矩阵,r(A)=n, ∫(x1,x2,,xn)=∑ c:x (1)记X=(x1,x2,…,xn),把 f∫(x1,x2,…,xn)写成矩阵形式,并证明二次型 f(X)的矩阵为A; (2)二次型g(X)=XAX与f(X)的规范形 是否相同?说明理由 85实二次型的正定性 设Q(a)是实二次型,若对任意非零向量a,恒有 Q(a)>0,则称实二次型正定.正定二次型的矩阵 称为正定矩阵 这里讲的正定矩阵是实二次型的矩阵,因此必定 是实对称矩阵.在解有关正定矩阵的题目时,首先要 检验矩阵是否是实对称的 一个二次型经过可逆线性替换变成另一个二次 型,它的正定性是不会改变的.因此可以通过二次型 的标准形以及规范形来讨论正定性2006 春季班 线性代数 第 8 章 二次型 8—9 例 6 设 A为n阶实对称矩阵，r(A) = n， ∑ ∑= = = n i n j i j ij n x x A A f x x x 1 1 1 2 ( , ,L, ) （１） 记 ，把 T X x x xn ( , , , ) = 1 2 L ( , , , ) x1 x2 xn f L 写成矩阵形式，并证明二次型 f (X)的矩阵为 ； −1 A （２） 二次型 g X X AX 与 T ( ) = f (X)的规范形 是否相同？说明理由． 8.5 实二次型的正定性 设Q(α)是实二次型, 若对任意非零向量α ，恒有 Q(α) > 0, 则称实二次型正定. 正定二次型的矩阵 称为正定矩阵． 这里讲的正定矩阵是实二次型的矩阵，因此必定 是实对称矩阵．在解有关正定矩阵的题目时，首先要 检验矩阵是否是实对称的． 一个二次型经过可逆线性替换变成另一个二次 型，它的正定性是不会改变的．因此可以通过二次型 的标准形以及规范形来讨论正定性．