第二十九讲Gren函数(二) 第9页 设这个等价电荷的位置为r1=(x1,y),电量为e,它和真实点电荷一起,在圆内的电势就是 r-rl 其中常数C与电势零点的选择有关.现在的问题就是要从要求圆周r=a上的电势为0, In/r-rl+eIn/r-ril+C 求出r1,e和C.注意这个方程应该对圆周上的一切点均成立.如果采用平面极坐标,即令 T三Tcos x'=r’cos 1=TI coS o y=rsin( rsin o, y1=ri sin o, 则方程化为 l2+72-2n1co(-6)+ch(2+2-2n(-]+2C=0 它应该对一切φ均成立.利用展开式 In [1+t2-2t cos d]= In [1-teig]+In [l-te 2∑mcme,| 就可以进一步化为 2Ina+In 1+ ()-2小+2n++(共)=2m)+2 2lna+2lmn-2∑n(a)"+(a)]cm(-0)+2C=0 于是,就得到 a+eNri+C=0 0 -/21产 a)=…,m=1,2,3… 所以 这样,我们的确求出了这个等价电荷,它位于真实电荷所在半径的延长线上,并且满足 rr 凡是满足这个关系的两个点,均称为关于圆r=a的反演点对,上述结果说明,等 价电荷和真实电荷构成对于圆r=a的反演点对,它们的电量相等,极性相反 将e和r1的结果代入(#)式,又可以求得 1Wu Chong-shi òóôõö Green ➶➹ (ó ) ➱ 9 ✃ ⑧➀❒❥⑩ ❍❴✙❦❳✷ r1 = (x1, y1) ✥ ❍❢✷ e ✥✫➅áØ ✲ ❍❴✬→✥✱ ➓ ❶ ✙ ❍②✦❺ G(r; r 0 ) = − 1 2πε0 h ln |r − r 0 | + e ln |r − r1| + C i , (z) ❹ ❫í✛ C ③ ❍②î✲ ✙ï÷s ✍ ✼Ô✱ ✙✗✘✦❺★❚ ★ê ➓➳ r = a ❯✙ ❍②✷ 0 ✥ − 1 2πε0 h ln |r − r 0 | + e ln |r − r1| + C i r=a = 0, ê ❐ r1, e ➅ C ✼ø ÿ➀❒❖P❽❿✺ ➓➳❯✙✬ù ✲ú ✐✓✼➭ ➠➔❋ ç ❜→❨❉✥ ✯➸ x = r cos φ, x0 = r 0 cos φ 0 , x1 = r1 cos φ 0 , y = r sin φ, y0 = r 0 sin φ 0 , y1 = r1 sin φ 0 , Ó❖P✮✷ ln a 2 + r 02 − 2ar0 cos(φ − φ 0 ) + e ln h a 2 + r 2 1 − 2ar1 cos(φ − φ 0 ) i + 2C = 0, ✫ ❽❿✺✬ù φ ú ✐✓✼û❋ ❍■➧ ln 1 + t 2 − 2t cosφ = ln 1 − te iφ + ln 1 − te −iφ = −2 X∞ m=1 1 m t m cos mφ, |t| < 1, ✦ ❨✸✧ ✬ó✮✷ 2 ln a + ln h 1 + r 0 a 2 − 2 r 0 a cos(φ − φ 0 ) i + 2e ln r1 + e ln h 1 +  a r1 2 − 2 a r1 cos(φ − φ 0 ) i + 2C = 2 ln a + 2e ln r1 − 2 X∞ m=1 1 m hr 0 a m + e  a r1 mi cos m(φ − φ 0 ) + 2C = 0, ➣ ❺✥✦r❬ ln a + e ln r1 + C = 0 (#) ➅ r 0 a m + e  a r1 m = 0, m = 1, 2, 3, · · · , ✯ e = − r1r 0 a 2 m ✇ e = − r1r 0 a 2 1 = − r1r 0 a 2 2 = − r1r 0 a 2 3 = · · · , m = 1, 2, 3, · · · , ➆✸ ✥ e = −1 ➅ r1 = a 2 r 0 ✇ r1 =  a r 0 2 r 0 . ➀ ➞ ✥❻➳ ✙✱ ê ❐✔➀❒❥⑩ ❍❴✥✫❦➣áØ ❍❴➆✱ ➄➅✙õöð❯✥ á❯➻➼ r 0 r1 = a 2 . ❾❺ ➻➼➀❒✍✎✙ ➁❒✲✥ú ✻✷✍ ➣ ➓ r = a ✙ üýþÿ ￾✁✂✄☎✆ ✝✞✟ ✠ ✡☛☞✌✍ ✡☛✎✏✑✒ ✓ r = a ✔✕✖✗✑✞✘✙✔ ✡✚✛✟✞✜✢✛✕ ￾ ✣ e ☞ r1 ✔ ✄☎✤✥ (#) ✦ ✞✧★✩✪✫ C = − ln a + ln r1 = ln a r 0 .